23.12.2014

Problem milenijny rozwiązany przez Polaka? - ciąg dalszy; Życzenia świąteczne; Plany

I proszę, historia pisze się dalej. Pan Bartosz Żółtak wstawił taki oto przejmujący filmik, który teraz podbija wykopa. Prosi w nim o przekazywanie pieniędzy, które mają mu pomóc w ukończeniu badań. Pod wykopem toczy się interesująca dyskusja, czy pomóc, czy nie, a jak pokazuje ta strona, pan Bartosz zebrał już ponad dziesięć tysięcy złotych!
Nadal nie podejmę się oceny, czy projekt pana Bartosza ma szanse powodzenia, ale mimo wszystko trzymam kciuki. I cieszę się, że temat się przebił do szerszej publiczności (szkoda tylko, że nie za pośrednictwem mojego bloga). 

Tymczasem życzę Wam wszystkim Wesołych Świąt i Szczęśliwego Nowego Roku

Ostatni miesiąc był naprawdę udany dla tego bloga, za co wszystkim Wam dziękuje. Następne przemyślenia pojawią się raczej pomiędzy świętami, a sylwestrem. Planuję w następnej notce podsumować i uzupełnić temat "Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka", ponieważ wzbudza on wiele kontrowersji. 


Justin Bieber - Mistletoe

22.12.2014

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część czwarta (ostatnia)

Podobno intuicjoniści nie uznają ogólnie dowodów niekonstruktywnych. Za wikipedią:

"Dowód niekonstruktywny – rodzaj dowodu matematycznego istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrycznych o pewnych własnościach), zwykle nie wprost, w którym wykazuje się, że nieprawdziwość tezy twierdzenia prowadziłaby do sprzeczności, z czego wyciąga się wniosek o jej spełnieniu (a więc istnieniu rozpatrywanego rodzaju obiektów) bez podania jakiegokolwiek sposobu ich konstruowania"

Na podanie konstruktywnego dowodu paradoksu omnipotencji wypadałoby chyba wskazać, jak Bóg ma zrobić ten kamień... no cóż. Nie podejmę się tego wyzwania.
Częsta odpowiedź na paradoks omnipotencji jest taka, że Bóg jest wszechmocny więc może "złamać" prawa logiki. No ale może On wcale ich nie musi łamać, tylko po prostu nasza logika jest niedoskonała, bo my jesteśmy niedoskonali, a wszelkie nasze próby zinterpretowania matmy, to tak naprawdę większe czy mniejsze przybliżenia, tak jak i w fizyce na przykład.
Póki nasza matematyka opiera się na pojęciach człowiekowi bliskich, nieścisłości praktycznie nie ma. Gdy jednak wchodzi w tak abstrakcyjne pojęcia jak liczby rzeczywiste, których zbiór jest mocy continuum, matematycy się gubią.
Zresztą nie tylko w matematyce mamy takie problemy. Ile razy brakuje nam słów, by opisać jakieś piękne zjawisko, czy choćby ładną dziewczynę? Nasz język jest po prostu zbyt płytki. Nasze myśli nie potrafią wyrazić tego, co widzimy, co czujemy. Posługując się słowami, przybliżamy nasz świat, a czym więcej o nim powiemy, tym mniej dokładnie go opiszemy.
Tak naprawdę i teraz i za kilkaset lat możemy być równie dalece od ideału jakim jest matma.
Słyszy się dużo o Twierdzeniu Gödla, ale myślę, że zwykły człowiek nie wie jak je interpretować. Czy chodzi o to, że nie da się stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej? Czy to może jest właśnie tak, bo nasza "logika" jest nieidealna? Bo chyba nie zabronimy Bogu stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej. 
Co możemy zrobić?
Może udałoby się udowodnić, że istnieje matematyka prawdziwa, logika, która wykracza poza nasze pojmowanie świata, rozstrzygająca wszystkie paradoksy, w której nie zachodziłoby twierdzenie Godla? Może udałoby się udowodnić, że hipoteza continuum jest prawdziwa lub fałszywa w tej logice? Może udałoby się chociaż zaksjomatyzować taką teorię? A może chociaż istnieje sposób, który pozwoli uniknąć dowodzenia sprzecznych twierdzeń i dzięki niemu można wykazać, że liczb pierwszych jest jednak zdecydowanie nieskończenie wiele i stworzyć metody pozwalające wyłapywać nieścisłości.

W artykule

 http://www.opoka.org.pl/biblioteka/F/FL/ograniczenia_godla.html

odnalazłem kilka interesujących stwierdzeń, które możliwe, że są odzwierciedleniem naszych postulatów (chciałbym, by ktoś ocenił, czy rzeczywiście tak jest):

"Nie jest oczywiste, że interesujące teorie muszą być formułowane w językach pierwszego rzędu. Nie ma powodu sądzić, że nie jest możliwe formułowanie ciekawych teorii w językach, do których twierdzenia Gödla nie mają bezpośredniego zastosowania."
"Barwise twierdzi wręcz, że w świetle osiągnięć matematyki i logiki, zwłaszcza tzw. "abstrakcyjnej teorii modeli" "nie ma powrotu do poglądu, że logika to logika pierwszego rzędu" ([Barwise 1985, 23])(18). Według Drake'a, matematyka to w gruncie rzeczy to samo, co logika drugiego rzędu, jednak, aby ją poznawać, badamy jej przybliżenia w teoriach pierwszego rzędu"
"O niemożliwości metafizyki: prawdą jest, że dla każdej teorii metafizycznej sformułowanej w rachunku predykatów pierwszego rzędu będą istniały zdania w języku tej teorii nierozstrzygalne w tej teorii. Czy jednak metafizyka musi być formułowana w takim właśnie języku?"
"Czy w ogóle możliwa jest inna matematyka (i przede wszystkim co to naprawdę znaczy) to odrębne zagadnienie."

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część trzecia

Matematyka to według niektórych sztuka wyciągania wniosków z przyjętych aksjomatów, pewników konstruowanych definicji. We współczesnej matematyce osiągnięciem jest udowodnienie jakiegoś twierdzenia.
Klasyczne aksjomaty teorii (wydaje mi się) są wynikiem jakby naszej intuicji, tak jak to, że istnieje coś takiego jak liczba naturalna 1, albo jest coś takiego jak zbiór.
Co jednak wspólnego z naszą intuicją ma hipoteza continuum, którą można chyba włączyć do danej teorii jako aksjomat? (Aksjomat wyboru może wydaje się trochę bardziej intuicyjny, ale nie będę go tu omawiał, bo może sam go do końca nie rozumiem).
Niektórzy może stwierdzą, że mimo wszystko czują intuicyjnie, że nie ma mocy pomiędzy alef zero, a continuum. No ale jak uzasadnią oni swoje przeczucie, gdy tak naprawdę człowiek nie ogarnia aż takich poziomów abstrakcji, co najwyżej posługuje się rozumowaniem "matematycznym" na przykład udowadniając, że continuum jest większe niż alef zero.
Drugie zdanie wypowiedziane przez mojego nauczyciela na logice brzmiało: Niektórzy matematycy nie akceptują dowodów nie wprost.
Wydawało mi się to trochę dziwne, teraz jednak chyba zaczynam rozumieć, dlaczego tak jest.
Już po naszej rozmowie, kilka dni temu przeczytałem, że matematycy nie uznający tych dowodów to intuicjoniści. Podobno próbowali oni uniknąć dowodzenia nie wprost i sformułować teorie w której dowodów nie wprost nie ma. Nie wiem na ile im się to udało. Wydaje mi się, że dowody nie wprost są najczęściej stosowane właśnie na tych wyższych poziomach abstrakcji, no ale nie wiem, czy sądzę dobrze.
Wróćmy do paradoksu omnipotencji i paradoksu kłamcy. Dowiedliśmy sprzeczności tych paradoksów dowodem nie wprost. Ciekawi mnie, czy resztę takich paradoksów (antynomii?) też dowodzi się nie wprost. No ale czy te dwa przypadki świadczą już o tym, że dowody nie wprost są złe?
W twierdzeniach, które nie zahaczają o tak abstrakcyjne rzeczy jak zbiory mocy continuum, wszystko wydaje się bardziej intuicyjne. Popatrzmy na dowód nie wprost twierdzenia o liczności liczb pierwszych (ten dowód już wkrótce no moim blogu). Otrzymujemy tu sprzeczność z wyjściem założenia, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Na tej podstawie wnioskujemy, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Co by było jednak, gdybyśmy wychodząc z założenia, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, również otrzymali sprzeczność? Pewnie tak nie jest, ale widzimy, że sprzeczności w mniej abstrakcyjnych twierdzeniach, niż hipoteza continuum zszokowałyby prawdopodobnie cały świat matematyki. No ale czy to, że hipoteza jest bardzo abstrakcyjna, może tłumaczyć zachodzenie sprzeczności (czy też niezależności)? Wydaje mi się, że abstrakcyjność danego pojęcia to tylko "ludzka", subiektywna opinia, a sama matma nie dzieli twierdzeń na mniej abstrakcyjne i bardziej. Wydaje mi się, że to, czy hipoteza continuum zachodzi, czy nie, jest tak samo konkretnym problem, jak to, czy liczb pierwszych jest skończenie wiele. 

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część druga

Czy Bóg może stworzyć kamień, którego nie może nigdy podnieść? To klasyczne pytanie nasuwa się, gdy mówimy o wszechmocnym Bogu.
Możemy zastosować metodę rozumowania nie wprost, która może nas doprowadzić do dowodu.
Spróbujmy najpierw udowodnić, że Bóg może stworzyć kamień.
Załóżmy nie wprost, że Bóg nie może stworzyć takiego kamienia. No ale Bóg jest wszechmocny, więc sprzeczność, a więc z zasad rozumowania nie wprost wynika, że Bóg jednak może stworzyć ten kamień.
Sprawdźmy jednak, że teza: Bóg nie może stworzyć kamienia, również zachodzi:
Załóżmy nie wprost, że Bóg może stworzyć taki kamień. No ale Bóg jest wszechmocny więc wtedy mógłby podnieść każdy kamień, co daje sprzeczność z założeniem, a więc Bóg nie może stworzyć takiego kamienia.
Inny, trochę może bardziej przyziemny przykład to tak zwany paradoks kłamcy.
Czy kłamca, który zawsze kłamię, mówi prawdę, gdy mówi, że kłamię?
Odpowiedź pierwsza: Tak, mówi prawdę.
Załóżmy nie wprost, że jednak kłamię. No ale to by oznaczało, że kłamie mówiąc o tym, że zawsze kłamie, więc mamy sprzeczność, bo w końcu mówi prawdę. Czyli kłamca mówi prawdę.
Odpowiedź druga: Nie, kłamie
Załóżmy nie wprost, że mówi prawdę. No ale on zawsze kłamie więc mamy sprzeczność. Czyli kłamca kłamie.
W obu przypadkach otrzymujemy dwie sprzeczne ze sobą tezy. Rodzi się pytanie: jak jest naprawdę?
Ale tak właściwie co te problemy mają wspólnego z matematyką?
Będąc na pierwszym roku matematyki mieliśmy przedmiot: "Wstęp do logiki i teorii mnogości". Dwa stwierdzenia moich nauczycieli tego przedmiotu szczególnie mnie zadziwiły:
Istnieje takie coś, jak hipoteza continuum. O co w niej chodzi?
Mamy liczby naturalne i liczby rzeczywiste. Jest pokazane, że liczb rzeczywistych jest "więcej" od liczb naturalnych. Mówimy, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc od liczb naturalnych. Moc zbioru liczb rzeczywistych to continuum, a moc zbioru liczb naturalnych to alef zero.
Rodzi się pytanie, czy istnieje moc pomiędzy alef zero, a continuum?
Jest to tak zwana hipoteza continuum. Na wykładzie dowiedzieliśmy się z tego co pamiętam, że nie da jej się udowodnić, ani jej zaprzeczyć (jest to podobno udowodnione). Poza tym hipoteza ta jest niezależna od klasycznej teorii mnogości (opierającej się na aksjomatach). Można ją uznać, albo nie. A jak jest naprawdę? Niektórzy może dojdą do wniosku, że to nie ma znaczenia. Może istnieje wiele teorii poprawnych? Ale nie tylko hipoteza continuum jest niezależna od zwykłej teorii mnogości. Również podobno aksjomat wyboru ma takie właściwości. Podobno dzięki niemu można udowodnić kilka twierdzeń, jednak nie wszyscy go uznają. 

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część pierwsza

W tych przemyśleniach odwołam się do niektórych pojęć z matematyki, których nie wyjaśniłem w poprzednich notkach i przez to, przemyślenia mogą być niezrozumiałe. Wielu z pojęć, których będę używał w tej notce, ja sam do końca nie rozumiem. Mam nadzieję na dialog, który pozwoli mi może bardziej usystematyzować swoją wiedzę.

Niedawno zainspirowani świetną książką Jiddu Krishnamurtiego - "Wolność od znanego", przeprowadziliśmy z kolegą ciekawą rozmowę.
Przed dyskusją mieliśmy całkowite odmienne podejście do matematyki.
Ja znam już niektóre sposoby dowodzenia twierdzeń, poznałem kilka dowodów, ciekawią mnie biografię matematyków, (ich) sposoby dochodzenia do wielkich odkryć. W przyszłości chciałbym zostać na uczelni, prowadzić pracę naukową w zakresie matematyki. Na dodatek mam dosyć mało praktyczne podejście do życia. Bardziej od zastosowań matematyki interesuje mnie sama matematyka.
Kolega zaś ma całkowite odmienne podejście do nauki. W skrócie: Nie ufa matematyce.
Po rozmowie wydaje się, że nasze poglądy w miarę się do siebie zbliżyły (co, jak mi się wydaję, jest rzadkością w dyskusjach).
Na początku dodam, że kolega, z którym przeprowadzałem dyskusje nie interesuje się za bardzo matematyką. Jest to według mnie warte uwagi ze względu na fakt, że jego teoria nie została zainspirowana poglądami filozofów na filozofię matematyki. Postaram się wskazać rzeczy, które ja wiedziałem o filozofii matematyki przed rozmową.
Od dyskusji minęło już kilka dni, przez ten czas szukałem artykułów, które pozwoliłyby bardziej usystematyzować swój pogląd. Myślę, że w miarę mi się to udało, dlatego też wreszcie chce o tym wszystkim napisać na moim blogu.
Przejdźmy do rzeczy.
Jakie wnioski otrzymaliśmy w wyniku dyskusji?

Człowiek tak naprawdę nie ma dostępu bezpośredniego do idealnego świata matematyki. Nie umie sobie wyobrazić nieskończoności, czy choćby idealnego trójkąta. Człowiek nie zawsze myśli logicznie. Czy zatem jest w stanie dobrze poznać twierdzenia matematyki?

05.12.2014

Uwaga!

Dziś na moim blogu dodane zostało dużo komentarzy (nie wiem dlaczego akurat dziś, no ale bardzo się z tego cieszę :)). Niestety nie wiedzieć czemu, bez mojej wiedzy potraktowano niektóre komentarze jako spam. Na szczęście nie skasowały się, więc mogłem je przywrócić na bloga.
Mam nadzieję, że posądzajacy mnie o kasowanie komentarzy wrócą i dowiedzą się o tym (i będą czytać dalej bloga). 
Za wszystkie komentarze bardzo dziękuję.

02.12.2014

Problem milenijny rozwiązany przez Polaka?

Na opisanie problemów milenijnych przyjdzie jeszcze czas. Te pojęcia są dosyć trudne, a nie chcę błyszczeć wiedzą, której sam nie rozumiem,

ALE

dowód istnienia funkcji jednokierunkowej podobno rozwiązałby jeden z problemów milenijnych, zwany P=NP (cokolwiek to znaczy). 
Kandydata na funkcje jednokierunkową przedstawił POLAK (!) Bartosz Żółtak. Prowadzi On stronę http://www.pieknafunkcja.pl/index.php . Nie wygląda to na jakąś pseudo-matematykę więc może jest nadzieja, że Polak rozwiążę ten problem (dla polskiej nauki to byłby pewnie niesamowity wyczyn).
A oto cytat ze strony pana Bartosza:
"01.10.2014 jest ważną datą w rozwoju badań nad funkcją VMPC. Tego dnia zakończyłem główny etap doprecyzowywania elementów dowodu jednokierunkowości funkcji VMPC i rozpocząłem zapisywanie dowodu na czysto w pracy naukowej. Celem jest opublikowanie pracy na międzynarodowej konferencji naukowej, co jest wymogiem w procedurze rozwiązania problemu milenijnego "czy P=NP" Clay Mathematics Institute. " 

Pozostaje czekać, a póki co aktualna pozostaje informacja umieszczana na wikipedii opisująca problem P=NP:
"Nierozwiązany. Wielokrotnie przedstawiano próby jej udowodnienia, jak i obalenia, a także wykazania niedowodliwości."


01.12.2014

3. Informacje

Nowy miesiąc pora zacząć nowymi informacjami. 
Dzieje się ostatnio na blogu i mam nadzieję, że będzie się dziać dalej. 
Przepraszam za tak długie przerwy, ale tak to już jest. Z planów regularnego pisania jak zwykle nic nie wyszło, więc musicie się zadowolić tym co jest. Stwierdziłem, że wolę publikować wtedy, gdy coś napiszę, a nie czekać i zostawiać coś na zapas, więc możecie się spodziewać kilku notek pod rząd, a później kilku tygodni przerwy i tak dalej. 
Mam dużo planów, między innymi chcę po trochu przedstawiać tutaj świat matematyki na studiach (tak bardzo różniący się od tego w liceum, czy gimnazjum). Oczywiście nie będę wdawał się w szczegóły, bo nie o to chodzi w tym blogu, ale kilka rzeczy z pewnością z tych notek będzie można się dowiedzieć. Przedstawię również swoje spojrzenie (ciągle budujące się) na filozofię matematyki. Mam zamiar napisać serię notek o wybitnych matematykach takich jak Terence Tao, czy Grigorij Perelman (jak również o tych żyjących może nawet kilka wieków temu). Do dokończenia zostały już zaczęte notki o funkcji dzeta, czy Lampie Thomsona. Wreszcie chciałbym napisać parę słów o różnych filmach, czy książkach na temat matematyki, a także wprowadzić Was (troszeczkę) w świat fraktali.  
Notki archiwalne już raczej się skończyły. Ciągle w planie jest "recenzja" "Dzielenia przez zero".

Życzę przyjemnego czytania, 
student


30.11.2014

Lampa Thomsona - część pierwsza

W 1954 roku James F. Thomson sformułował paradoks, czy jak to nazwać, zwany Lampą Thompsona. 
Przeprowadźmy następujące doświadczenie myślowe:
Weźmy lampę i zaprogramujmy ją tak, by po jakimś czasie sama się wyłączała/włączała.
W naszym przypadku weźmy sobie taką tabelkę. 
TimeOn/Off
0.000On
1.000Off
1.500On
1.750Off
1.875On
......
2.000?
 (tabelka zaczerpnięta z wikipedii).

Na początku niech lampa będzie włączona. Po minucie lampę wyłączamy. Po kolejnej pół minucie lampę włączamy i tak dalej. Czynności te kończymy w drugiej minucie. Gdy lampa jest włączona, zostawiamy włączoną, gdy wyłączona, zostawiamy wyłączoną.
I tu pojawia się problem.
Czy lampa zostanie w drugiej minucie włączona czy wyłączona?

(#) Wróćmy do notki: 
http://blog-o-matematyce.blogspot.com/2014/06/1-12-13-14-czesc-pierwsza.html
Widzimy tutaj wzór na szereg geometryczny:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots. 
Suma tego szeregu po dodaniu elementu dla n=0 wynosi 2. 
W omawianym w tej notce problemie mamy do czynienia właśnie z tym szeregiem. Kolejne n-te sumy początkowe takiego wyrazu geometrycznego to właśnie 
1
1,5
1,75 i tak dalej.

Teoretycznie nim lampa osiągnie drugą minutę, zostanie wykonana nieskończona ilość operacji (co wynika z (#)). No ale jaka operacja zostanie wykonana ostatnia?

29.11.2014

Archiwum: 21.12.2012 - Dlaczego 3^0=1

Kiedyś zastanawiałem się, dlaczego dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej równa się jeden, a nie na przykład 0. Ostatnio zauważyłem jednak pewną rzecz, która może nie tłumaczy bezpośrednio, laczego tak jest, ale jest to wg mnie ciekawa prawidłowość.
Weźmy na przykład liczbę 3, tak jak w tytule.
Wiemy,  że pierwiastek z 3 (drugiego stopnia), to inaczej 3^(1/2). Pierwiastek z 3 trzeciego stopnia, to 3^1/3 itd.
Zobaczmy jak wyglądają niektóre pierwiastki dla liczby 3.
3^(1/2) = 1,73
3^(1/4 )= 1,23
3^(1/8 )= 1,15
3^(1/16) = 1,07 itd.
To samo dzieje się z innymi liczbami. Czym większa liczba w mianowniku potęgi, tym bardziej wartość działania zbliża się do jedynki. Tak samo jest z liczbą mniejszą od jedynki, na przykład 0,001.
0,001^(1/2)=0,03
0,001^(1/10)=0,5
0,001^(1/100)=0,93
Oczywiście = oznacza tutaj „w przybliżeniu”.
A teraz to, co zauważyłem.
Liczba w mianowniku potęgi dąży do nieskończoności, podczas gdy wartość dąży do jedynki. Jak napisaliśmy wcześniej, 1/nieskończoność = 0, tak więc 3^0, lub inaczej 3^(1/nieskończoność) = 1.

Problemy milenijne

Jak już kiedyś pisałem: "Matematyka kryje wiele tajemnic". Są jednak zadania, których rozwiązanie może przysporzyć matematykowi wiele sławy i pieniędzy. 
W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya (za wikipedią: amerykańska organizacja pozarządowa o charakterze non-profit, utworzona w 1998 r. przez parę milionerów z Bostonu) ogłosił listę siedmiu nierozwiązanych problemów (są to tak zwane "Problemy milenijne"). Za rozwiązanie każdego z nich wyznaczył nagrodę miliona dolarów.
Już same nazwy i opisy tych zagadnień sprawiają wiele problemów a co dopiero ich rozwiązanie. Mam nadzieję, że z biegiem czasu poznam lepiej te pojęcia i będę mógł napisać na blogu o co mniej więcej w nich chodzi. 
Do tej pory tylko jeden z "problemów milenijnych" udało się rozwiązać. Uczynił to w 2003 roku rosyjski matematyk Grigorij Perelman (warto dodać, że odmówił przyjęcia nagrody) przedstawiając swój dowód Hipotezy Poincarego (teraz już Twierdzenia) w internecie.  
Przez pewien czas wydawało się, że drugi problem milenijny może zostać rozwiązany. Niestety "dowód" Równań Naviera-Stokesa przedstawiony przez Mukhtarbaia Otelbayeva okazał się nieprawdziwy.
O prestiżu problemów milenijnych świadczy choćby fakt, że  Magazyn Science przyznał ostatecznemu rozstrzygnięciu hipotezy Poincarego miano "naukowego wydarzenia roku 2006".

Więcej o problemach milenijnych innym razem. 

15.11.2014

Alexander Grothendieck

12 listopada na forum matematyka.pl napisałem taki oto tekst o pewnym człowieku: 


"Alexander Grothendieck (ur. 28 marca 1928 w Berlinie) – jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. Początkowo zajmował się teorią przestrzeni Banacha oraz przestrzeniami liniowo-topologicznymi i ich iloczynami tensorowymi. Twórca nowoczesnych podstaw geometrii algebraicznej. W czasie wojny ukrywał się w Le Chambon-sur-Lignon. Laureat Medalu Fieldsa w 1966 roku. 
Tyle tylko o tym matematyku pisze nasza wikipedia. 
Alexander Grothendieck przewinął się kilka razy przez to forum, ale nie ma osobnego tematu, a według mnie zasługuje na to.
Kiedyś myślałem, że Grigorij Perelman jest ewenementem. Matematyk o wielkich możliwościach, który może pracować w największych uczelniach świata i zarabiać miliony, postanawia odizolować się od ludzi nie wyjaśniając za bardzo swojego postępowania. Okazuje się jednak, że rosyjskiemu geniuszowi szlak przetarł inny geniusz - Alexander Grothendieck, który od początku lat dziewięćdziesiątych żyje w pustelni w Pirenejach. Jego zachowanie dużo tłumaczy bardzo ciekawy i inspirujący artykuł (polecam gorąco)
http://www.zb.eco.pl/publication/wielcy ... eck-p450l1 . 
Po takim naświetleniu portretu Grothendiecka można doszukać się logiki w jego postępowaniu. Pozostaje mieć nadzieję, że Grigorij Perelman i Alexander Grothendieck nie powiedzieli jeszcze ostatniego słowa i świat więcej się dowie o ich historii (w przypadku Perelmana może to być łatwiejsze, w końcu nie ma jeszcze pięćdziesiątki, a w ostatnich miesiącach pojawiły się artykuły sugerujące, że wychodzi z ukrycia). "


Dziś dowiedziałem się, że jest on nieaktualny. Niestety Grothendieck zmarł przedwczoraj (trzynastego listopada).
Więcej o wielkich matematykach (w tym o Grothendiecku i Perelmanie) już wkrótce.

24.09.2014

Samodzielne myślenie - część pierwsza


Niektórzy uważają, że matematyka polega na uczeniu się definicji i twierdzeń i rozwiązywaniu zadań według schematów. Inni twierdzą, że matematyka tak naprawdę opiera się na intuicji, na logicznym myśleniu i tak naprawdę bez studiów człowiek może być w stanie być dobrym matematykiem. Jeszcze inni myślą, że matematyka to przede wszystkim liczenie, liczenie i jeszcze raz liczenie, a żeby być dobrym matematykiem, wystarczy być uważnym i nie mylić się w liczeniu.
Jak jest naprawdę?
Myślę, że żadne z tych stwierdzeń nie odpowiada w stu procentach na pytanie jak się uczyć matematyki, jak zostać dobrym matematykiem. Osobiście sam byłem skłonny w pewnym momencie przyznać rację drugiej tezie. Po kilku miesiącach studiowania doszedłem jednak do wniosku, że bez opierania się na odkryciach innych matematyków, człowiek nie jest w stanie zbyt dużo samemu wymyślić (chyba, że nazywa się Srinivasa Ramanujan, ale o nim później). Poza tym uczenie się matematyki, zgłębianie odkryć innych, pomaga nabrać odpowiedniego podejścia. Uczy myśleć logicznie. Dzięki temu możemy nauczyć się sposobu, w jaki matematykę należy poznawać. Można powiedzieć, że uczenie się matematyki może pomóc nauczyć się uczyć. Oczywiście prawdopodobnie należy znaleźć swój sposób, żeby nie popadać w schematy myślowe. To, że ktoś tam użył takiego sposobu do wywnioskowania jakichś prawidłowości, nie znaczy, że ja też mam używać tego sposobu. 

15.09.2014

Różnice między liceum, a studiami - część druga

W liceum z tego co pamiętam, miałem około sześciu godzin matematyki w tygodniu. Na studiach mam ich aż szesnaście - osiemnaście. Praktycznie nic poza tym. Na pierwszym semestrze do tego dochodziły dwie godziny informatyki, a w drugim dwie godziny ekonomii.
Matematyka w liceum to był jeden, spójny przedmiot. Na studiach jest inaczej. Uczymy się algebry, rachunku różniczkowego i całkowego, geometrii, prawdopodobieństwa, wszystkiego po trochu. Każdy przedmiot jest w jakimś stopniu niezależny od drugiego. Oczywiście wszystko to się jakoś łączy, ale mimo wszystko, trzeba się uczyć kilku przedmiotów. Na dodatek do każdego z nich jest przydzielony inny nauczyciel.
Zajęcia z danego przedmiotu składają się zazwyczaj z wykładu i ćwiczeń. To kolejna zasadnicza różnica w porównaniu z liceum. Czasami tak się zdarza (a nawet dosyć często), że wykład prowadzi ktoś inny, niż ćwiczenia. Oczywiście wykładowca i ćwiczeniowiec starają się porozumieć, zaplanować co robić (zazwyczaj im się to udaje). Na pewno różni się też podejście nauczycieli akademickich od zwykłych, szkolnych. W szkole dużo czasu poświęcało się na to, by każdy zrozumiał. Tutaj czasami tak nie jest. Na uczelni pracują zazwyczaj co najmniej doktorzy, którym może się wydawać, że to wszystko jest proste. Na studiach nauczyciele kładą jednak większy nacisk na samodzielne myślenie. Wychodzą chyba z założenia, że żeby dogłębnie przerobić materiał, tak by każdy go zrozumiał, potrzeba by mnóstwo godzin. A tak, jednego studenta temat zainteresuje i poczyta w domu notatki, albo zajrzy do jakieś książki. Drugi student wykuje się wszystkiego na pamięć, byle do kolokwium, a później wszystko (albo większość) zapomni. (Chciałbym należeć do pierwszego typu studentów, ale niestety lenistwo mi na to nie pozwala).
Poza tym wykładowcy akademiccy mają dużo swojej pracy, na przykład naukowej (o czym wkrótce mam zamiar napisać) i mogą nie poświęcać się w stu procentach dla dopiero początkujących matematyków. 
Oczywiście różni się również ilość osób. Na moim roku na kierunek matematyka zostało przyjętych dwieście osób (teraz jest jakieś 150). Podzielono nas oczywiście na grupy, ale wykłady mamy razem. W sumie to dosyć ciekawe doświadczenie. Można poznać naprawdę wielu nowych ludzi.

10.09.2014

Rywalizacja

Czy lepiej być najsłabszym wśród najlepszych czy najlepszym wśród najsłabszych? Oczywiście gdyby było można to najlepiej być najlepszym wśród najlepszych. To się zdarza niestety rzadko. Lubię sport i wydaję się, że matematykę, czy inne przedmioty szkolne też można traktować jako sport. Podobno są kraje na świecie w których unika się rywalizacji uczniów. Czy to dobrze? Nie wiem. Ja z pewnością przyzwyczaiłem się do tego, że praktycznie każdy chce mieć jak najlepszą ocenę. To nie powinno dziwić. Chyba nikt nie chce być gorszy od drugiego. Oczywiście nie wszyscy przywiązują do ocen taką samą wagę. Mi na przykład w liceum na ocenach z innych przedmiotów, niż moich ulubionych, było obojętne jaką ocenę dostanę. Niektórzy za wszelką cenę chcieli mieć pasek, mi wystarczyła średnia 3,40. W gimnazjum i w podstawówce było inaczej. Teraz - na studiach, też to się zmieniło. Tutaj wysoka średnia może skutkować nie jakimś tam biało-czerwonym paskiem, tylko stypendium. Poza tym uczymy się praktycznie tylko matematyki, dlatego też nie ma wymówki, że któreś przedmioty są mniej interesujące (chyba, że ktoś chce być specjalistą w jednej dziedzinie matematyki, ale myślę, że na pierwszych latach studiów uczymy się rzeczy niezbędnych do późniejszej specjalizacji). Niestety pierwszy semestr skończyłem ze średnią 3,33. Drugi był lepszy, ale i tak do 4,00 nie wyciągnąłem. Mam nadzieję z semestru na semestr się poprawiać. By to zrobić z pewnością muszę zacząć się więcej uczyć. Czy uda mi się jednak dogonić te osoby, które praktycznie zawsze dostają piątki?
W podstawówce miałem z matmy same piątki (czasami szóstki). Byłem w grupie kilku osób, które matematykę rozumiały bardzo dobrze, mniej więcej na tym samym poziomie. Egzamin napisałem na 36/40 punktów i to był jeden z lepszych wyników w klasie (najlepszy to chyba 39 punktów). W gimnazjum trafiłem do bardzo słabej klasy, ale za to miałem dobrą nauczycielkę. Nie przemęczałem się zbytnio (i chyba tu właśnie odzwyczaiłem się od systematycznej pracy). Obawiałem się, czy brak rywalizacji nie wpłynie źle na mój wynik. Nie miałem żadnego porównania do ludzi z klas, gdzie poziom był dużo wyższy. Na szczęście okazało się, że brak rywalizacji nie wpłynął negatywnie na mój wynik z egzaminu gimnazjalnego. Z części matematycznej dostałem 47/50 punktów i dostałem się do klasy licealnej z najwyższą ilością punktów. Okazało się jednak, że nie będzie tak łatwo jak w gimnazjum. Już od pierwszych sprawdzianów było widać, że jestem co prawda w piątce najlepszych z matematyki, ale do najlepszego dużo mi brakuje. Z czasem to wszystko się wyrównało i ostatecznie na maturze osiągnąłem najlepszy wynik w klasie - 94%. Chyba dwie osoby miały 90%, kilka 80%-90%. Nie można powiedzieć, że matura wypadła źle w naszej klasie.
Ze względu na przeciętny (słaby) wynik z języka, na studia, kierunek matematyka, dostałem się z około pięćdziesiątego miejsca. Myślę, że gdyby brać pod uwagę tylko wynik z matury z matematyki, byłbym gdzieś w pierwszej dwudziestce. Tak czy inaczej teraz razem ze mną w grupie jest kilka osób, którzy są ode mnie zdecydowanie lepsi. Dla mnie to nowa sytuacja i ciężko mi się w niej odnaleźć. Czasami mam wrażenie, że umiem dużo, a mimo wszystko okazuje się, że nie jest to wystarczająco dużo. W każdym razie ta nowa sytuacja zaczyna mnie motywować do nauki, żeby nadrobić braki, żeby nie odstawać od czołówki.
Zastanawiam się, jaka rywalizacja byłaby dla mnie najlepsza. Nie lubię, jak mi ktoś pomaga. Chcę sam rozwiązywać problemy. Z drugiej strony powinienem się cieszyć, że wokół mnie jest dużo kolegów, którzy mogą mi pomóc, a nie tak jak w gimnazjum, gdzie to ja musiałem wszystkim pomagać. Choć w gimnazjalnej klasie nie miałem konkurencji, nauczycielka motywowała mnie i w jakiś sposób czułem się odpowiedzialny za całą klasę, żeby nie okazało się, że jesteśmy zdecydowanie najgorsi w szkole. W licealnej klasie było jakieś dziesięć osób, które przykładały się do nauki matematyki i drugie tyle, którzy w pierwszych dwóch klasach naukę "olewali". Oczywiście przebudzili się w trzeciej klasie, gdy zaczęła przerażać ich perspektywa słabo napisanej matury. W każdym razie atmosfera w klasie była bardzo pozytywna. Nie było jakiegoś wielkiego ducha rywalizacji. Nie było zawziętej walki o jak najlepsze oceny. Szczerze mówiąc, ta atmosfera odpowiadała mi najbardziej. Z podstawówki niewiele pamiętam, no ale to w końcu początki edukacji. Mam jednak wrażenie, że atmosfera w podstawówce nie była aż tak luźna, jak w liceum.

Crydajam - Playground

03.09.2014

Archiwum: 18.02.2012 - Potęgi dwójki (seria: "Nic nie znaczące odkrycia matematyczne")

I kolejne z serii nic nie znaczących odkryć matematycznych. A może jednak do czegoś to się przyda?
Tym razem od razu przejdę do rzeczy ;p

2^1 =       2
2^2 =       4
2^3 =       8
2^4 =    1 6
2^5 =    3 2
2^6 =    6 4
2^7 = 1 2 8
2^8 = 2 5 6

Taak. Powtarzają się ;p. Fajne było to odkrycie, że liczby w kolejnych potęgach dwójki się powtarzają. Pierwsza reakcja – zadowolenie, druga – sprawdzamy, czy w dziesiątkach też się powtarzają. Okazuje się, że tak, ale najpierw garść informacji o tym jak powtarzają się w jednościach.

Kolejność powtarzania:
2,4,8,6
Suma liczb powtarzających się:
20
Liczb powtarzających się:
4
Suma liczb powtarzających się/ Liczby powtarzające się:
5

Jak jest w dziesiątkach? (kolejność podpunktów taka sama jak przy jednościach.

0,0,1,3,6,2,5,1,2,4,9,9,8,6,3,7,4,8,7,5
20
90
4,5

Tutaj jednak rozpatrzyłem inne ciekawe rzeczy.
Jakie liczby się powtarzają?
Dwa 0, dwie 1, dwie 2, dwie 3, dwie 4, dwie 5, dwie 6, dwie 7, dwie 8, dwie 9     xD ciekaweee

Powtarzają się w kolejności:
Parzysta, parzysta, nieparzysta, nieparzysta                 ;pp ciekaweeee

O ile rosną i się powtarzają
0+0+1+2+3-4+3-4+1+2+5
9 -0-1 -2 -3+4-3+4-1 -2-5            xD

20.08.2014

International Mathematical Olympiad 2014

Od trzeciego do trzynastego lipca bieżącego roku pięciuset sześćdziesięciu młodych matematyków ze stu jeden krajów rywalizowało w Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej (skrót z angielskiego IMO). Zawody odbyły się w Kapsztadzie (Republika Południowej Afryki). Troje zawodników wywalczyło maksymalną ilość punktów:
Alexander Gunning (Australia), Jyiang Gao (Chiny), Po-Sheng Wu (Tajwan).
Poza tym przyznano 49 złotych, 113 srebrnych i 130 brązowych medali.
Wśród sześciu reprezentantów Polski tylko jeden otrzymał złoty medal - Karol Kaszuba za zajęcie dwudziestego ósmego miejsca. Czterech zaś otrzymało medal brązowy. Jeden uczestnik wrócił z wyróżnieniem.
W klasyfikacji drużynowej Polska uplasowała się na dwudziestym szóstym miejscu. Pierwsze miejsce należy w tym roku do Chin, drugie dla Stanów Zjednoczonych, na trzecim miejscu zawody zakończył Tajwan.

Więcej o IMO już niebawem.

16.08.2014

Medal Fieldsa 2014

Martin HairerManjul BhargavaArtur Avila i Maryam Mirzakhani (pierwsza kobieta w historii) otrzymali w 2014 roku Medal Fieldsa, uznawany za najważniejszą nagrodę dla matematyka.
Więcej o samym Medalu w innej notce.

18.07.2014

Archiwum: 2012.06.01 - Dzielenie przez zero (cz. 5) (ostatnia)

Podsumujmy więc to, co udało nam się ustalić.
Wbrew powszechnym opiniom można dzielić przez zero. 
1/0 = ∞
Funkcja 1/x=y przecina osie x i y kolejno w punktach (∞;0) oraz (0; ∞). Tu należy więc zastrzec, że nieskończoność wbrew powszechnym opiniom nie jest bardzo dużą liczbą. Jest po prostu największą liczbą.
Na takim działaniu można wykonywać różne operacje i tak:
1= ∞*0 i 1/∞=0
I tutaj zastrzeżenie:
Wyniki niektórych z tych równań na przykład: ∞*0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞ nazywamy symbolami nieoznaczonymi. Mogą one przyjmować dowolną wartość, określoną wcześniej. Na wikipedii jest napisane, że nie mają one sensu liczbowego, jednak o symbolach nieoznaczonych napiszemy więcej przy innej okazji.
∞+1 lub +2 lub +x = ∞ o czym można się przekonać analizując paradoks Hilberta.
Problemy nieskończoności analizował Georg Cantor, żyjący w XIX/XX wieku. Dla nas to szczególnie budujące, ponieważ mamy tą satysfakcję, że rozważaliśmy rzeczy, które rozważał wybitny matematyk i które przyczyniły się do powstania nowoczesnej matematyki.
Cantor analizował, czy wszystkie nieskończoności są równe. Czy na przykład zbiór liczb rzeczywistych jest równy zbiorowi liczb naturalnych. Na podstawie metody przekątniowej (wikipedia) doszedł do wniosku, że pierwszy z nich jest większy. Nie wszystkie nieskończoności są więc równe (można teraz gdybać, czy sami byśmy na to wpadli).
Chociaż ciężko to wszystko przyjąć do wiadomości, to wszystkie te rzeczy mają zastosowanie w fizyce czy w matematyce o czym również napiszemy przy innej okazji.

14.07.2014

Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.4)

W szkole często jest nudno i tak też było tego dnia. Siedzieliśmy na religiach nic nie robiąc, później był polski. Jakoś w rozmowie między tymi przedmiotami przypomnieliśmy sobie wykład profesora, który wręczał nam rok temu nagrody i próbowaliśmy bardziej zrozumieć paradoks Hilberta. Zadaliśmy sobie pytanie czy w takim razie zbiór liczb naturalnych jest równy zbiorowi liczb parzystych? Wyszło na to że tak. Po jakieś godzinie doszliśmy do jeszcze bardziej dziwnego wniosku. Rozważyliśmy zbiór liczb rzeczywistych (0,1) i porównaliśmy go do zbioru liczb naturalnych. Wyszło nam, że są równoliczne, a może nawet zbiór (0,1) jest większy. Spisaliśmy na kartce nasze przemyślenia i jeszcze trochę podyskutowaliśmy.
Po religii i polskim mamy matematykę i to okazało się dla bardzo korzystne. Nasze rozmyślania na przerwie usłyszała nauczycielka i się nimi zainteresowała. Byliśmy troszkę zdziwieni, ale od razu powiedzieliśmy do jakich wniosków doszliśmy. Lekki strach mieliśmy, bo chyba nikt z nas nie lubi, gdy okazuje się, że wszystko pokręciliśmy i gadamy głupoty. Okazało się, że matematyka wcale nie jest inna niż myślimy.  Nauczycielka powiedziała nam, że istnieje taki dział, który zajmuje się tego typu zadaniami, określa tak zwaną moc zbiorów. Można podobno dowodzić nie wprost metodą przekątniową (której nie mogłem zrozumieć chyba z tydzień. Czasami na wikipedii piszą takim językiem, że niby się wszystko rozumie, a tak naprawdę nie wiadomo o co chodzi), że zbiór liczb rzeczywistych jest większy (ma większą moc) od zbioru liczb naturalnych i każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, (na przykład (0,1)) jest większy od zbioru liczb naturalnych. Nie jestem pewien, czy każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych wszystkich, ale chyba tak. Dodatkowo zgodnie z tym co mówił profesor i z tym do czego my sami doszliśmy – zbiór liczb naturalnych jest równy zbiorowi liczb całkowitych, czy parzystych.
Pani profesor (nie wiem dlaczego tak się nazywa nauczycieli w liceum. Praktycznie wszyscy z nich są tylko magistrami, a co tu mówić o profesorze, no ale akurat jakoś bardzo mi to nie przeszkadza), potwierdziła również nasz dowód na to, że 1/0=∞. Zapytaliśmy więc, czy można wykonywać na takich liczbach normalne działania – obustronnie mnożyć i dzielić. Otrzymaliśmy twierdzącą odpowiedź i od razu uśmiechając się pod nosem przystąpiliśmy do naszej analizy, której dokonaliśmy wcześniej i o której wspominałem:
1/0=∞ i 100/0=∞ w takim razie ∞*0=1 i ∞*0=100
z której wynikało, że 1=100 „pod wpływem”, czy „w obliczu” nieskończoności. Nauczycielka stwierdziła, że tu akurat się mylimy. Wyrażenie nieskończoność razy zero, czy nieskończoność podzielić przez nieskończoność, albo nieskończoność minus nieskończoność nazywamy symbolem nieoznaczonym i można powiedzieć, że przyjmuje ono różną wartość w zależności od tego czym było wcześniej. 
Podziękowaliśmy bardzo za wytłumaczenie i byliśmy z siebie dumni. Okazało się, że chociaż wydawałoby się, że wszystko jest przeciwko nam (szkolne wierszyki, wikipedia, fora internetowe), to jednak dzięki logicznemu myśleniu wysnuliśmy prawidłowe wnioski.

08.07.2014

Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.3)

Na szczęście dosyć szybko natrafiliśmy na wytłumaczenie.
Jakoś tak wyszło, że moja siostra właśnie przerabiała w szkole logikę matematyczną i ja zaciekawiony tym tematem spojrzałem w jej notatki. Wypatrzyłem tam ciekawą rzecz:
Zdanie złożone o treści Jeżeli p to q nazywamy implikacją.
Na przykład: Jeżeli mam na imię Dawid, to pisze teraz notkę.
Zatem:
p – mam na imię Dawid.
q – pisze teraz notkę.
By określić czy podana implikacja jest prawdziwa musimy wiedzieć, czy p i q są prawdziwe. Gdy to już wiemy należy spojrzeć do tabelki pokazującej czy dana implikacja jest zdaniem prawdziwym, czy też nie. Jeżeli podana wartość jest prawdziwa – wpiszę jedynkę, jeżeli nie – wpiszę zero.

P            q             Jeśli p to q 
1            1                     1
1            0                     0
0            0                     1
0            1                     1
Widzimy, że implikacja jest nieprawdziwa tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe, a q nie.
Zdanie: Jeżeli mam na imię Dawid, to pisze teraz notkę jest więc prawdziwe, jeśli mam na imię Dawid i pisze notkę (a tak właśnie jest), albo gdy nie mam na imię Dawid.
Jeżeli jestem świętym Mikołajem, to mam na imię Dawid – takie zdanie również jest prawdziwe, ponieważ nie jestem świętym Mikołajem. Imię tutaj nie robi wielkiego znaczenia.
Wracając jednak do naszej teorii i doświadczenia logicznego. By sprawdzić, czy rzeczywiście ∞*0=1 ułożyliśmy taką oto implikację:
Jeżeli da się przejechać taczką nieskończoną ilość razy w tę i z powrotem bez piasku, to da się tą taczką ten piasek tym sposobem przewieźć z punktu A do punktu B.
p – Da się przejechać taczką nieskończoną ilość razy w tę i z powrotem – fałszywe. Nie ważne, czy ten piasek da się przewieźć czy nie. Zdanie jest prawdziwe, tak że nie ma żadnej sprzeczności w naszym rozumowaniu.
Taki wniosek podpowiadała nam intuicja (inaczej nie wierzylibyśmy w sens zajmowania się dalej nieskończonością). Nieskończoności nie potrafimy zrozumieć, więc dlaczego wszystkie pojęcia z nią związane miałyby być zgodne z naszym rozumem, który jest mocno ograniczony?
Nasza wiedza o nieskończoności poszerzała się, jednak nadal brakowało jednoznacznego potwierdzenia naszych teorii. W końcu jednak nastąpił przełom.