Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.1)

Chyba większość z nas zaczynając naukę w szkole podstawowej, ucząc się dzielić, usłyszała od swoich rodziców, czy innych ludzi ze swojego otoczenia taki oto wierszyk:

„Pamiętaj ch…..,

nie dziel przez zero!”.

Przekonany o poprawności tego niezwykle wpadającego w ucho utworu, przyjąłem do wiadomości, że tak jest. Wątpliwości nabrałem jednak półtora roku temu, po przeczytaniu o dylatacji czasowej, gdy „dokształcałem się”, czytając książkę od fizyki.

„W szczególnej teorii względności czasy przebiegu tego samego zjawiska dla różnych obserwatorów są powiązane zależnością:   

Δt=yΔt₀ 

gdzie:

Δt₀ – czas trwania zjawiska zarejestrowany przez obserwatora spoczywającego względem zjawiska,

Δt – czas trwania tego samego zjawiska zachodzącego w układzie odniesienia pierwszego obserwatora rejestrowany przez obserwatora poruszającego się względem pierwszego z prędkością v,

y=1/((1-(v^2/c^2))^1/2)  -  czynnik Lorentza, 

v – względna prędkość obserwatorów,

c – prędkość światła w próżni.”

(źródło: pl.wikipedia.org).

Należy zacząć od tego, że w ogóle teoria względności czasami topornie wchodzi do głowy. Szczególnie jeśli wyobrazimy sobie podróże w czasie (ale tylko w przyszłość), albo inne dziwne zjawiska z nią związane. To jednak temat na inne rozważania. Tak czy inaczej, gdy już zrozumiałem o co chodzi, zauważyłem jedną rzecz:

Co by było, gdyby względna prędkość obserwatorów wynosiła właśnie c. W końcu światło – fala elektromagnetyczna w próżni (bo w innym ośrodku z tego co mi wiadomo niekoniecznie) ma właśnie taką prędkość.

Spójrzmy więc co by było, gdy za v podstawimy c. W mianowniku pod pierwiastkiem otrzymamy 1-1=0.

Otrzymujemy 1/0 Δt_{0 =} Δt.

Oczywiście od razu podsunąłem to Wiktorowi i nie pozostało nic innego, jak zapytać o to panią od fizyki. Nie, dała jednoznacznej odpowiedzi, ale w końcu stwierdziliśmy, że ciężko będzie cokolwiek udowodnić i daliśmy sobie z tym spokój.

Temat powrócił przy omawianiu funkcji homograficznych. Spójrzmy na wykres funkcji

y=100/x i zobaczmy jak zmienia się wartość dla poszczególnych argumentów.

x=100 y=1

x=10 y=10

x=1 y=100

x=0,1 y=1000

x=0,01 y=10000

x=0,001 y=100000

Widzimy ewidentnie, że gdy x zbliża się do zera, to y zmierza do nieskończoności.

W tym czasie zafascynowany byłem ciekawym spostrzeżeniem

0,999999999999999…=1

Dowód do wyprowadzenia zostawiam Wam. Napisałem o tym dlatego, że wtedy pomyślałem, że skoro 0,9999999…=1 to może 0,000000000…1 = 0. Wniosek z tego – można dzielić przez zero.

Mówi się, że granicą, czy asymptotą wartości tej funkcji przy x dążącym do zera jest nieskończoność. Wykres ciągle zbliża się do x=0 jednocześnie zwiększając swoją wartość. Więc wniosek jest taki – w końcu przetnie się z zerem, ale będzie miał wtedy wartość równą nieskończoność. Tu trzeba postawić sobie sprawę jasno – nieskończoność nie jest bardzo dużą liczbą, bo z takim założeniem do niczego nie dojdziemy. Nieskończoność jest po prostu nieskończenie dużą liczbą, coś czego nie możemy pojąć, czy policzyć. Tylko z takim założeniem mogliśmy rozważać, czy da się dzielić przez zero.

 W celu sprawdzenia czy mam racje wszedłem na wikipedie i niestety zawiodłem się. „To nie ma sensu” było napisane. Podobne przemyślenia do moich pisano na niejednym forum matematycznym, jednak większość z nich zostawała od razu negowana.

Jednakże co z tego, że nie umiemy sobie wyobrazić nieskończoności? Czy to znaczy, że nie istnieje?

Tak, to właśnie wtedy powstawało nasze dzieło „Świat jest inny niż nam się wydaje” i właśnie z nim wiążę się dalszy ciąg tej historii. 

2. Informacje

I znowu informacje dotyczące archiwum.

Postanowiłem nie zmieniać kształtu postów z archiwum, więc mogą one zawierać błędy (i zawierają). Wg mnie to ciekawe poczytać swoje przemyślenia sprzed kilku lat (nawet błędne) i nie wstydzę się ich publikować. Niebawem wrzucę tutaj archiwalną serię "Dzielenie przez zero". W niedługim czasie postaram się "zrecenzować" tę prace. Ocenić zawarte w niej treści zgodnie z obecną (moją oczywiście) wiedzą. Możliwe, że nie wszystkie błędy zauważę, dlatego też zachęcam do krytycznego podejścia do moich postów.  

Archiwum: 2012.01.12 - Zabawy z kalkulatorem (seria: "Nic nie znaczące odkrycia matematyczne")

I kolejne z serii „nic nie znaczące, ale moje odkrycia matematyczne”.

Jakieś dwa lata temu bawiąc się kalkulatorem wpadłem na pomysł by zrobić coś ciekawego. Jak wiadomo klawiatura kalkulatora wygląda w następujący sposób:

7 8 9

4 5 6

1 2 3

nudziło mi się, więc dodałem liczby 123+456+789. Wyszło 1368. Później dodałem liczby (można powiedzieć) na skos to jest 159+456+753 i wyszedł mi taki sam wynik. 

Przedstawię to na schemacie:

7 8 9      7    9

4 5 6      4 5 6

1 2 3   1  3       jednym kolorem postarałem się zaznaczyć całą liczbę, którą dodawałem, aczkolwiek cyfra 5 w drugim przypadku jest w każdej z liczb. 

Okazało się, że działa to w „każdą stronę” np. dodając 147+258+369 otrzymamy taką samą liczbę jak dodając 159+258+357. Tak samo jak 321+654+987=951+654+357. Są więc 4 takie możliwości, by dodawanie liczb poziomych i „skośnych” dało taki sam wynik.

Oczywiście nie jest to chyba przełomowe odkrycie, ale jednak coś to musi znaczyć i może do czegoś się przyda, chociaż ja na razie nie przekonałem się do czego.

_______

To tak na poprawę humoru :)

1. Informacje

Żaden post nie pojawił się od czterech dni. W dodatku ostatni, to post archiwalny. Postanowiłem, że będę wrzucał ciekawe posty dotyczące matematyki z moich poprzednich blogów. Nie martwcie się, nie jest ich dużo. Niektóre z nich straciły swój urok przez te dwa-trzy lata, ale uważam, że jest kilka wartych opublikowania po raz kolejny. Nie będę podawał adresów moich poprzednich blogów. Kto zna, ten zna (mam w zwyczaju nie kasować blogów, gdy mi się znudzą).

Ostatni nowy post pochodzi sprzed prawie tygodnia. Nie martwcie się, pomysłów mi nie brakuje. Nie chcę publikować codziennie, albo nawet co dwa dni, z kilku powodów:

1. Blog jeszcze nie jest rozpromowany. Mam jednak nadzieję rozpocząć promocję bloga w niedługim czasie.

2. Zajęcia na studiach, sesja, brak czasu. Myślę, że w czasie wakacji blog się bardzo rozwinie.

3. Zostawiam kilka postów zapasowych. Chcę mieć takie na wypadek, gdyby wena uciekła.

No, to tyle na dziś. Spodziewajcie się następnego posta w ciągu kilku dni.

Archiwum: 2012.01.07 - Kwadraty kolejnych liczb naturalnych (seria: "Nic nie znaczące odkrycia matematyczne")

Ponad cztery lata temu, na pierwszej lekcji matematyki w gimnazjum dostaliśmy zadanie, by obliczyć kwadraty kolejnych liczb naturalnych. Mi nie chciało się zbytnio tego robić i trochę obawiałem się, że się będę mylił wliczeniu. Po wymnożeniu kilku pierwszych liczb zauważyłem jednak pewną ciekawą prawidłowość.

12=1

12+3 = 22

22+5=32

32+7=42

42+9=52

Którą sformułowałem w następujący sposób:

Kwadraty kolejnych liczb naturalnych rosną o kolejne liczby nieparzyste.

Dzięki temu obliczenie potęg do dwudziestej liczby naturalnej nie sprawiło mi najmniejszego problemu, co wprawiło w duże zdziwienie zarówno nauczycielkę jak i innych kolegów i koleżanki, którzy często męczyli się dopiero z potęgami pierwszych liczb dwucyfrowych.

Zastanawiając się nad swoim (jak mi się wtedy wydawało) „genialnym” odkryciem, zauważyłem kolejną prawidłowość, która pozwoliła uzupełnić moje twierdzenie:

Kwadraty kolejnych liczb naturalnych rosną do drugiej liczby o podwojoną wartość pierwszej liczby plus jeden. I tak:

22=4

22+(2*2+1) = 32

32+(2*3+1) = 42

Przez następne kilka dni byłem dumny ze swojego odkrycia. Dzieliłem się z nim ze wszystkimi kolegami. Kolejne dni przyniosły jednak rozczarowanie, bo ta moja prawidłowość do niczego się już nie przydawała, aż w końcu o niej zapomniałem i dopiero ostatnio stosując wzór skróconego mnożenia

(x+1)2 = x2+2x+1 uświadomiłem sobie, że właśnie to jest podsumowanie mojego „genialnego odkrycia”, przedstawione w formie króciutkiego równania, a 2x+1 to jest właśnie wartość, o które zmieniają się kwadraty kolejnych liczb.

No ale… w końcu nie ma to jak chociaż chwilowe poczucie (nawet błędne), że jest się geniuszem.

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ... = ? - część pierwsza

Szeregi liczbowe - to z pewnością jedna z ciekawszych rzeczy poznanych na pierwszym roku studiów. Przypatrzmy się tej równości:

Lewa część równania składa się z dużego znaku sigmy. Określa on wraz ze swoim górnym i dolnym odnośnikiem, ile wyrazów mamy dodawać do siebie (tutaj od n=1 do nieskończoności). Po prawej stronie widzimy, co ten symbol po lewej stronie oznacza w praktyce. 

W liceum możemy się spotkać z szeregiem geometrycznym. Szereg przedstawiony wyżej również jest szeregiem geometrycznym. W tablicach CKE jest wzór na n-tą sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Nieskończona suma tego ciągu byłaby sumą szeregu geometrycznego. Możliwe, że ktoś z Was spotkał się w liceum ze wzorem na sumę szeregu geometrycznego.

W dalszej części tego posta chciałbym rozwinąć temat sum szeregów.

Jak się okazuje, wyznaczanie sum szeregów wcale nie jest takie proste. By móc to zrobić, trzeba przebrnąć przez pierwszy rok studiów, ale spróbuje powiedzieć, o co mniej więcej chodzi.

Nim zabierzemy się do liczenia sumy szeregu, warto najpierw stwierdzić, czy suma szeregu jest liczbą (wtedy mówimy, że szereg jest zbieżny), czy na przykład ucieka do nieskończoności (jak suma szeregu poniżej):

 (jak łatwo zauważyć, jest to po prostu szereg jedynek: 1+1+1+1+1...)

Istnieją również szeregi, o których nie da się powiedzieć, do jakiej liczby dąży suma. Gdy szereg nie jest zbieżny, mówimy, że jest rozbieżny.

Washed Out - It All Feels Right

Matematyka.pl

Choć matematyką interesuje się od dłuższego czasu, na forum matematyka.pl natknąłem się jakieś kilka miesięcy temu. Szczerze je polecam. Można tam znaleźć rozwiązania wielu zadań, podyskutować o matematyce, często z zaawansowanymi matematykami, poczytać bardzo wiele ciekawych wpisów. Myślę, że forum może pomóc na każdym etapie nauki matematyki.

Link poniżej: 

http://www.matematyka.pl/

deadmau5 - I remember

"Proste" problemy matematyczne

Matematyka kryje wiele tajemnic. Ten wykop przedstawia kilka ciekawych, nierozwiązanych problemów, których sformułowanie wydaje się być bardzo proste. Myślę, że wraz z rozwojem bloga i mojej wiedzy z matematyki uda mi się bardziej omówić te problemy.

http://www.wykop.pl/ramka/1180541/zaskakujaco-proste-ale-nierozstrzygniete-problemy-matematyki/?sR=41414d4242515641556a513d%EF%BB%BF

Regularyzacja funkcją dzeta - część pierwsza

Weźmy S = 1-1+1-1...
Zauważmy, że 1-S=S , bo
1-(1-1+1-1...) = 1-1+1-1...
Przenieśmy S na drugą stronę. Mamy więc
S=1/2
Weźmy teraz
Sx = 1-2+3-4+5-6...
Zauważmy, że
Sx+Sx=S , bo
1-2+3-4+5-6...
 +1-2+3-4+5... =
1-1+1-1+1-1...
Więc 2Sx = S,
czyli Sx = 1/4

Weźmy teraz
Sy=1+2+3+4+5+6...
zauważmy, że
Sy-Sx=0+4+0+8...
Czyli Sy-Sx = 4*(1+2+3+4+5+6...)
czyli Sy-Sx = 4*Sy
czyli -Sx=3*Sy
czyli Sy = -1/12

Podsumowując

1+2+3+4+5+6... = 1/12


deadmau5 - Ghosts 'n' Stuff (feat. Rob Swire)