18.07.2014

Archiwum: 2012.06.01 - Dzielenie przez zero (cz. 5) (ostatnia)

Podsumujmy więc to, co udało nam się ustalić.
Wbrew powszechnym opiniom można dzielić przez zero. 
1/0 = ∞
Funkcja 1/x=y przecina osie x i y kolejno w punktach (∞;0) oraz (0; ∞). Tu należy więc zastrzec, że nieskończoność wbrew powszechnym opiniom nie jest bardzo dużą liczbą. Jest po prostu największą liczbą.
Na takim działaniu można wykonywać różne operacje i tak:
1= ∞*0 i 1/∞=0
I tutaj zastrzeżenie:
Wyniki niektórych z tych równań na przykład: ∞*0, 0/0, ∞/∞, ∞-∞ nazywamy symbolami nieoznaczonymi. Mogą one przyjmować dowolną wartość, określoną wcześniej. Na wikipedii jest napisane, że nie mają one sensu liczbowego, jednak o symbolach nieoznaczonych napiszemy więcej przy innej okazji.
∞+1 lub +2 lub +x = ∞ o czym można się przekonać analizując paradoks Hilberta.
Problemy nieskończoności analizował Georg Cantor, żyjący w XIX/XX wieku. Dla nas to szczególnie budujące, ponieważ mamy tą satysfakcję, że rozważaliśmy rzeczy, które rozważał wybitny matematyk i które przyczyniły się do powstania nowoczesnej matematyki.
Cantor analizował, czy wszystkie nieskończoności są równe. Czy na przykład zbiór liczb rzeczywistych jest równy zbiorowi liczb naturalnych. Na podstawie metody przekątniowej (wikipedia) doszedł do wniosku, że pierwszy z nich jest większy. Nie wszystkie nieskończoności są więc równe (można teraz gdybać, czy sami byśmy na to wpadli).
Chociaż ciężko to wszystko przyjąć do wiadomości, to wszystkie te rzeczy mają zastosowanie w fizyce czy w matematyce o czym również napiszemy przy innej okazji.

14.07.2014

Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.4)

W szkole często jest nudno i tak też było tego dnia. Siedzieliśmy na religiach nic nie robiąc, później był polski. Jakoś w rozmowie między tymi przedmiotami przypomnieliśmy sobie wykład profesora, który wręczał nam rok temu nagrody i próbowaliśmy bardziej zrozumieć paradoks Hilberta. Zadaliśmy sobie pytanie czy w takim razie zbiór liczb naturalnych jest równy zbiorowi liczb parzystych? Wyszło na to że tak. Po jakieś godzinie doszliśmy do jeszcze bardziej dziwnego wniosku. Rozważyliśmy zbiór liczb rzeczywistych (0,1) i porównaliśmy go do zbioru liczb naturalnych. Wyszło nam, że są równoliczne, a może nawet zbiór (0,1) jest większy. Spisaliśmy na kartce nasze przemyślenia i jeszcze trochę podyskutowaliśmy.
Po religii i polskim mamy matematykę i to okazało się dla bardzo korzystne. Nasze rozmyślania na przerwie usłyszała nauczycielka i się nimi zainteresowała. Byliśmy troszkę zdziwieni, ale od razu powiedzieliśmy do jakich wniosków doszliśmy. Lekki strach mieliśmy, bo chyba nikt z nas nie lubi, gdy okazuje się, że wszystko pokręciliśmy i gadamy głupoty. Okazało się, że matematyka wcale nie jest inna niż myślimy.  Nauczycielka powiedziała nam, że istnieje taki dział, który zajmuje się tego typu zadaniami, określa tak zwaną moc zbiorów. Można podobno dowodzić nie wprost metodą przekątniową (której nie mogłem zrozumieć chyba z tydzień. Czasami na wikipedii piszą takim językiem, że niby się wszystko rozumie, a tak naprawdę nie wiadomo o co chodzi), że zbiór liczb rzeczywistych jest większy (ma większą moc) od zbioru liczb naturalnych i każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, (na przykład (0,1)) jest większy od zbioru liczb naturalnych. Nie jestem pewien, czy każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych wszystkich, ale chyba tak. Dodatkowo zgodnie z tym co mówił profesor i z tym do czego my sami doszliśmy – zbiór liczb naturalnych jest równy zbiorowi liczb całkowitych, czy parzystych.
Pani profesor (nie wiem dlaczego tak się nazywa nauczycieli w liceum. Praktycznie wszyscy z nich są tylko magistrami, a co tu mówić o profesorze, no ale akurat jakoś bardzo mi to nie przeszkadza), potwierdziła również nasz dowód na to, że 1/0=∞. Zapytaliśmy więc, czy można wykonywać na takich liczbach normalne działania – obustronnie mnożyć i dzielić. Otrzymaliśmy twierdzącą odpowiedź i od razu uśmiechając się pod nosem przystąpiliśmy do naszej analizy, której dokonaliśmy wcześniej i o której wspominałem:
1/0=∞ i 100/0=∞ w takim razie ∞*0=1 i ∞*0=100
z której wynikało, że 1=100 „pod wpływem”, czy „w obliczu” nieskończoności. Nauczycielka stwierdziła, że tu akurat się mylimy. Wyrażenie nieskończoność razy zero, czy nieskończoność podzielić przez nieskończoność, albo nieskończoność minus nieskończoność nazywamy symbolem nieoznaczonym i można powiedzieć, że przyjmuje ono różną wartość w zależności od tego czym było wcześniej. 
Podziękowaliśmy bardzo za wytłumaczenie i byliśmy z siebie dumni. Okazało się, że chociaż wydawałoby się, że wszystko jest przeciwko nam (szkolne wierszyki, wikipedia, fora internetowe), to jednak dzięki logicznemu myśleniu wysnuliśmy prawidłowe wnioski.

08.07.2014

Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.3)

Na szczęście dosyć szybko natrafiliśmy na wytłumaczenie.
Jakoś tak wyszło, że moja siostra właśnie przerabiała w szkole logikę matematyczną i ja zaciekawiony tym tematem spojrzałem w jej notatki. Wypatrzyłem tam ciekawą rzecz:
Zdanie złożone o treści Jeżeli p to q nazywamy implikacją.
Na przykład: Jeżeli mam na imię Dawid, to pisze teraz notkę.
Zatem:
p – mam na imię Dawid.
q – pisze teraz notkę.
By określić czy podana implikacja jest prawdziwa musimy wiedzieć, czy p i q są prawdziwe. Gdy to już wiemy należy spojrzeć do tabelki pokazującej czy dana implikacja jest zdaniem prawdziwym, czy też nie. Jeżeli podana wartość jest prawdziwa – wpiszę jedynkę, jeżeli nie – wpiszę zero.

P            q             Jeśli p to q 
1            1                     1
1            0                     0
0            0                     1
0            1                     1
Widzimy, że implikacja jest nieprawdziwa tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe, a q nie.
Zdanie: Jeżeli mam na imię Dawid, to pisze teraz notkę jest więc prawdziwe, jeśli mam na imię Dawid i pisze notkę (a tak właśnie jest), albo gdy nie mam na imię Dawid.
Jeżeli jestem świętym Mikołajem, to mam na imię Dawid – takie zdanie również jest prawdziwe, ponieważ nie jestem świętym Mikołajem. Imię tutaj nie robi wielkiego znaczenia.
Wracając jednak do naszej teorii i doświadczenia logicznego. By sprawdzić, czy rzeczywiście ∞*0=1 ułożyliśmy taką oto implikację:
Jeżeli da się przejechać taczką nieskończoną ilość razy w tę i z powrotem bez piasku, to da się tą taczką ten piasek tym sposobem przewieźć z punktu A do punktu B.
p – Da się przejechać taczką nieskończoną ilość razy w tę i z powrotem – fałszywe. Nie ważne, czy ten piasek da się przewieźć czy nie. Zdanie jest prawdziwe, tak że nie ma żadnej sprzeczności w naszym rozumowaniu.
Taki wniosek podpowiadała nam intuicja (inaczej nie wierzylibyśmy w sens zajmowania się dalej nieskończonością). Nieskończoności nie potrafimy zrozumieć, więc dlaczego wszystkie pojęcia z nią związane miałyby być zgodne z naszym rozumem, który jest mocno ograniczony?
Nasza wiedza o nieskończoności poszerzała się, jednak nadal brakowało jednoznacznego potwierdzenia naszych teorii. W końcu jednak nastąpił przełom.

01.07.2014

Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.2)

Tym esejem wygraliśmy fizyczny, wojewódzki konkurs, którego organizatorem był jeden z profesorów na miejscowym uniwersytecie. Po rozdaniu nagród zapowiedział, że przygotował dla nas trzy króciutkie wykłady i zwycięzcom (czyli nam) da możliwość wybrania, który z nich ma przeprowadzić. Jeden z nich dotyczył właśnie nieskończoności więc bez wahania daliśmy odpowiedź, że to nas interesuje. Spróbuje w skrócie przedstawić czego się wtedy dowiedzieliśmy.
Wykład dotyczył przede wszystkim paradoksu Hilberta. W tym miejscu odsyłam również do wikipedii. Tam jest to w miarę dobrze przedstawione, dlatego nie będę opisywał samego doświadczenia myślowego, które należy wykonać, by dojść do następujących wniosków:
∞ + 1 = ∞
To wydawało się dla nas bardzo ciekawe, jednak nie do końca zrozumieliśmy wykład profesora. Mówił on o innych działaniach na nieskończoności, na przykład potęgowaniu, jednak niestety przedstawiał to w dziwny sposób, niezrozumiały w tej chwili dla nas. W każdym bądź razie poczyniliśmy kolejny krok na drodze do zrozumienia nieskończoności, jednak przez kolejne ponad pół roku nic w kierunku do dalszego  poznania nie ruszyło.
Jakoś w marcu nastąpił punkt zwrotny. Praktycznie identyczną teorię do naszej, dotyczącej hiperboli wysnuł kolega z klasy w któreś z luźnych pogawędek. Wtedy we mnie jakby coś się obudziło. Skoro ktoś inny myśli podobnie do mnie, to może jednak coś w tym jest.
Wspólnie z Wiktorem przeanalizowaliśmy niektóre rozwiązania, które narzucały się, gdyby nasza teoria okazała się prawdziwa. Założyliśmy, że na nieskończoności można wykonywać normalne działania. Co wtedy? Otóż dochodzimy do sprzeczności.
1/0=∞
100/0=∞
0*∞=100
0*∞=1
1=100
Do podobnej równości można dojść na różne sposoby. Przypomniałem sobie, że zagadką na którą nabierało się sporo osób był swego czasu w mojej klasie taki oto sofizmat matematyczny:
Niech
a=b+c
a(a-b)=(b+c)(a-b)
a2-ab=ba-b2+ca-cb
a2-ab-ac=ab-b2-bc
a(a-b-c)=b(a-b-c)
a=b
A przecież a nie zawsze musi być równe b.
Skutkiem błędu jest właśnie obustronne dzielenie przez zero (a-b-c=0, patrz pierwsze równanie).
Poczuliśmy się zrezygnowani. Wydawałoby się, że wierszyk wciskany nam od podstawówki ma sens. W marcu byliśmy jednak pod wpływem bardzo ciekawych przemyśleń pewnego fizyka – Nassima Harameina, który przekonywał, że świat jest jednością. Wysnuliśmy osobliwą teorię:
2=5, 7=100 itd. w obliczu nieskończoności lub nicości (zera).
Nie udało nam się tego obalić ani potwierdzić, ale przez pewien czas myśleliśmy nad tym jakie wnioski filozoficzne należy z tego wyciągać. Zauważyliśmy, że nieskończoność to dosyć dobre pole do rozważań i jakoś bardziej się tym zainteresowaliśmy.
Z działania ∞*0=1 wynikły również kolejne sprzeczne z rozumem wnioski. Wiktor przeprowadził eksperyment myślowy:
„Załóżmy, że mamy taczkę i tonę piasku do przewiezienia. Czy jeżeli będziemy jeździli tą taczką w tę i z powrotem, nieskończoną ilość razy, to przewieziemy górę piasku z punktu A do punktu B?”
Wydawało się to dziwne, ale wiadomo, że nasz rozum może nas zawodzić, o czym przecież zdawaliśmy sobie sprawę.