Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część czwarta (ostatnia)

Podobno intuicjoniści nie uznają ogólnie dowodów niekonstruktywnych. Za wikipedią:

"Dowód niekonstruktywny – rodzaj dowodu matematycznego istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrycznych o pewnych własnościach), zwykle nie wprost, w którym wykazuje się, że nieprawdziwość tezy twierdzenia prowadziłaby do sprzeczności, z czego wyciąga się wniosek o jej spełnieniu (a więc istnieniu rozpatrywanego rodzaju obiektów) bez podania jakiegokolwiek sposobu ich konstruowania"

Na podanie konstruktywnego dowodu paradoksu omnipotencji wypadałoby chyba wskazać, jak Bóg ma zrobić ten kamień... no cóż. Nie podejmę się tego wyzwania.

Częsta odpowiedź na paradoks omnipotencji jest taka, że Bóg jest wszechmocny więc może "złamać" prawa logiki. No ale może On wcale ich nie musi łamać, tylko po prostu nasza logika jest niedoskonała, bo my jesteśmy niedoskonali, a wszelkie nasze próby zinterpretowania matmy, to tak naprawdę większe czy mniejsze przybliżenia, tak jak i w fizyce na przykład.

Póki nasza matematyka opiera się na pojęciach człowiekowi bliskich, nieścisłości praktycznie nie ma. Gdy jednak wchodzi w tak abstrakcyjne pojęcia jak liczby rzeczywiste, których zbiór jest mocy continuum, matematycy się gubią.

Zresztą nie tylko w matematyce mamy takie problemy. Ile razy brakuje nam słów, by opisać jakieś piękne zjawisko, czy choćby ładną dziewczynę? Nasz język jest po prostu zbyt płytki. Nasze myśli nie potrafią wyrazić tego, co widzimy, co czujemy. Posługując się słowami, przybliżamy nasz świat, a czym więcej o nim powiemy, tym mniej dokładnie go opiszemy.

Tak naprawdę i teraz i za kilkaset lat możemy być równie dalece od ideału jakim jest matma.

Słyszy się dużo o Twierdzeniu Gödla, ale myślę, że zwykły człowiek nie wie jak je interpretować. Czy chodzi o to, że nie da się stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej? Czy to może jest właśnie tak, bo nasza "logika" jest nieidealna? Bo chyba nie zabronimy Bogu stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej. 

Co możemy zrobić?

Może udałoby się udowodnić, że istnieje matematyka prawdziwa, logika, która wykracza poza nasze pojmowanie świata, rozstrzygająca wszystkie paradoksy, w której nie zachodziłoby twierdzenie Godla? Może udałoby się udowodnić, że hipoteza continuum jest prawdziwa lub fałszywa w tej logice? Może udałoby się chociaż zaksjomatyzować taką teorię? A może chociaż istnieje sposób, który pozwoli uniknąć dowodzenia sprzecznych twierdzeń i dzięki niemu można wykazać, że liczb pierwszych jest jednak zdecydowanie nieskończenie wiele i stworzyć metody pozwalające wyłapywać nieścisłości.

W artykule

 http://www.opoka.org.pl/biblioteka/F/FL/ograniczenia_godla.html

odnalazłem kilka interesujących stwierdzeń, które możliwe, że są odzwierciedleniem naszych postulatów (chciałbym, by ktoś ocenił, czy rzeczywiście tak jest):

"Nie jest oczywiste, że interesujące teorie muszą być formułowane w językach pierwszego rzędu. Nie ma powodu sądzić, że nie jest możliwe formułowanie ciekawych teorii w językach, do których twierdzenia Gödla nie mają bezpośredniego zastosowania."

"Barwise twierdzi wręcz, że w świetle osiągnięć matematyki i logiki, zwłaszcza tzw. "abstrakcyjnej teorii modeli" "nie ma powrotu do poglądu, że logika to logika pierwszego rzędu" ([Barwise 1985, 23])(18). Według Drake'a, matematyka to w gruncie rzeczy to samo, co logika drugiego rzędu, jednak, aby ją poznawać, badamy jej przybliżenia w teoriach pierwszego rzędu"

"O niemożliwości metafizyki: prawdą jest, że dla każdej teorii metafizycznej sformułowanej w rachunku predykatów pierwszego rzędu będą istniały zdania w języku tej teorii nierozstrzygalne w tej teorii. Czy jednak metafizyka musi być formułowana w takim właśnie języku?"

"Czy w ogóle możliwa jest inna matematyka (i przede wszystkim co to naprawdę znaczy) to odrębne zagadnienie."