Lampa Thomsona - część pierwsza

W 1954 roku James F. Thomson sformułował paradoks, czy jak to nazwać, zwany Lampą Thompsona. 

Przeprowadźmy następujące doświadczenie myślowe:

Weźmy lampę i zaprogramujmy ją tak, by po jakimś czasie sama się wyłączała/włączała.

W naszym przypadku weźmy sobie taką tabelkę. 

Time	On/Off
0.000	On
1.000	Off
1.500	On
1.750	Off
1.875	On
...	...
2.000	?

 (tabelka zaczerpnięta z wikipedii).

Na początku niech lampa będzie włączona. Po minucie lampę wyłączamy. Po kolejnej pół minucie lampę włączamy i tak dalej. Czynności te kończymy w drugiej minucie. Gdy lampa jest włączona, zostawiamy włączoną, gdy wyłączona, zostawiamy wyłączoną.

I tu pojawia się problem.

Czy lampa zostanie w drugiej minucie włączona czy wyłączona?

(#) Wróćmy do notki: 

http://blog-o-matematyce.blogspot.com/2014/06/1-12-13-14-czesc-pierwsza.html

Widzimy tutaj wzór na szereg geometryczny:

 

Suma tego szeregu po dodaniu elementu dla n=0 wynosi 2. 

W omawianym w tej notce problemie mamy do czynienia właśnie z tym szeregiem. Kolejne n-te sumy początkowe takiego wyrazu geometrycznego to właśnie 

1

1,5

1,75 i tak dalej.

Teoretycznie nim lampa osiągnie drugą minutę, zostanie wykonana nieskończona ilość operacji (co wynika z (#)). No ale jaka operacja zostanie wykonana ostatnia?