Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.1)

Chyba większość z nas zaczynając naukę w szkole podstawowej, ucząc się dzielić, usłyszała od swoich rodziców, czy innych ludzi ze swojego otoczenia taki oto wierszyk:

„Pamiętaj ch…..,

nie dziel przez zero!”.

Przekonany o poprawności tego niezwykle wpadającego w ucho utworu, przyjąłem do wiadomości, że tak jest. Wątpliwości nabrałem jednak półtora roku temu, po przeczytaniu o dylatacji czasowej, gdy „dokształcałem się”, czytając książkę od fizyki.

„W szczególnej teorii względności czasy przebiegu tego samego zjawiska dla różnych obserwatorów są powiązane zależnością:   

Δt=yΔt₀ 

gdzie:

Δt₀ – czas trwania zjawiska zarejestrowany przez obserwatora spoczywającego względem zjawiska,

Δt – czas trwania tego samego zjawiska zachodzącego w układzie odniesienia pierwszego obserwatora rejestrowany przez obserwatora poruszającego się względem pierwszego z prędkością v,

y=1/((1-(v^2/c^2))^1/2)  -  czynnik Lorentza, 

v – względna prędkość obserwatorów,

c – prędkość światła w próżni.”

(źródło: pl.wikipedia.org).

Należy zacząć od tego, że w ogóle teoria względności czasami topornie wchodzi do głowy. Szczególnie jeśli wyobrazimy sobie podróże w czasie (ale tylko w przyszłość), albo inne dziwne zjawiska z nią związane. To jednak temat na inne rozważania. Tak czy inaczej, gdy już zrozumiałem o co chodzi, zauważyłem jedną rzecz:

Co by było, gdyby względna prędkość obserwatorów wynosiła właśnie c. W końcu światło – fala elektromagnetyczna w próżni (bo w innym ośrodku z tego co mi wiadomo niekoniecznie) ma właśnie taką prędkość.

Spójrzmy więc co by było, gdy za v podstawimy c. W mianowniku pod pierwiastkiem otrzymamy 1-1=0.

Otrzymujemy 1/0 Δt_{0 =} Δt.

Oczywiście od razu podsunąłem to Wiktorowi i nie pozostało nic innego, jak zapytać o to panią od fizyki. Nie, dała jednoznacznej odpowiedzi, ale w końcu stwierdziliśmy, że ciężko będzie cokolwiek udowodnić i daliśmy sobie z tym spokój.

Temat powrócił przy omawianiu funkcji homograficznych. Spójrzmy na wykres funkcji

y=100/x i zobaczmy jak zmienia się wartość dla poszczególnych argumentów.

x=100 y=1

x=10 y=10

x=1 y=100

x=0,1 y=1000

x=0,01 y=10000

x=0,001 y=100000

Widzimy ewidentnie, że gdy x zbliża się do zera, to y zmierza do nieskończoności.

W tym czasie zafascynowany byłem ciekawym spostrzeżeniem

0,999999999999999…=1

Dowód do wyprowadzenia zostawiam Wam. Napisałem o tym dlatego, że wtedy pomyślałem, że skoro 0,9999999…=1 to może 0,000000000…1 = 0. Wniosek z tego – można dzielić przez zero.

Mówi się, że granicą, czy asymptotą wartości tej funkcji przy x dążącym do zera jest nieskończoność. Wykres ciągle zbliża się do x=0 jednocześnie zwiększając swoją wartość. Więc wniosek jest taki – w końcu przetnie się z zerem, ale będzie miał wtedy wartość równą nieskończoność. Tu trzeba postawić sobie sprawę jasno – nieskończoność nie jest bardzo dużą liczbą, bo z takim założeniem do niczego nie dojdziemy. Nieskończoność jest po prostu nieskończenie dużą liczbą, coś czego nie możemy pojąć, czy policzyć. Tylko z takim założeniem mogliśmy rozważać, czy da się dzielić przez zero.

 W celu sprawdzenia czy mam racje wszedłem na wikipedie i niestety zawiodłem się. „To nie ma sensu” było napisane. Podobne przemyślenia do moich pisano na niejednym forum matematycznym, jednak większość z nich zostawała od razu negowana.

Jednakże co z tego, że nie umiemy sobie wyobrazić nieskończoności? Czy to znaczy, że nie istnieje?

Tak, to właśnie wtedy powstawało nasze dzieło „Świat jest inny niż nam się wydaje” i właśnie z nim wiążę się dalszy ciąg tej historii.