Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część druga

Czy Bóg może stworzyć kamień, którego nie może nigdy podnieść? To klasyczne pytanie nasuwa się, gdy mówimy o wszechmocnym Bogu.

Możemy zastosować metodę rozumowania nie wprost, która może nas doprowadzić do dowodu.

Spróbujmy najpierw udowodnić, że Bóg może stworzyć kamień.

Załóżmy nie wprost, że Bóg nie może stworzyć takiego kamienia. No ale Bóg jest wszechmocny, więc sprzeczność, a więc z zasad rozumowania nie wprost wynika, że Bóg jednak może stworzyć ten kamień.

Sprawdźmy jednak, że teza: Bóg nie może stworzyć kamienia, również zachodzi:

Załóżmy nie wprost, że Bóg może stworzyć taki kamień. No ale Bóg jest wszechmocny więc wtedy mógłby podnieść każdy kamień, co daje sprzeczność z założeniem, a więc Bóg nie może stworzyć takiego kamienia.

Inny, trochę może bardziej przyziemny przykład to tak zwany paradoks kłamcy.

Czy kłamca, który zawsze kłamię, mówi prawdę, gdy mówi, że kłamię?

Odpowiedź pierwsza: Tak, mówi prawdę.

Załóżmy nie wprost, że jednak kłamię. No ale to by oznaczało, że kłamie mówiąc o tym, że zawsze kłamie, więc mamy sprzeczność, bo w końcu mówi prawdę. Czyli kłamca mówi prawdę.

Odpowiedź druga: Nie, kłamie

Załóżmy nie wprost, że mówi prawdę. No ale on zawsze kłamie więc mamy sprzeczność. Czyli kłamca kłamie.

W obu przypadkach otrzymujemy dwie sprzeczne ze sobą tezy. Rodzi się pytanie: jak jest naprawdę?

Ale tak właściwie co te problemy mają wspólnego z matematyką?

Będąc na pierwszym roku matematyki mieliśmy przedmiot: "Wstęp do logiki i teorii mnogości". Dwa stwierdzenia moich nauczycieli tego przedmiotu szczególnie mnie zadziwiły:

Istnieje takie coś, jak hipoteza continuum. O co w niej chodzi?

Mamy liczby naturalne i liczby rzeczywiste. Jest pokazane, że liczb rzeczywistych jest "więcej" od liczb naturalnych. Mówimy, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc od liczb naturalnych. Moc zbioru liczb rzeczywistych to continuum, a moc zbioru liczb naturalnych to alef zero.

Rodzi się pytanie, czy istnieje moc pomiędzy alef zero, a continuum?

Jest to tak zwana hipoteza continuum. Na wykładzie dowiedzieliśmy się z tego co pamiętam, że nie da jej się udowodnić, ani jej zaprzeczyć (jest to podobno udowodnione). Poza tym hipoteza ta jest niezależna od klasycznej teorii mnogości (opierającej się na aksjomatach). Można ją uznać, albo nie. A jak jest naprawdę? Niektórzy może dojdą do wniosku, że to nie ma znaczenia. Może istnieje wiele teorii poprawnych? Ale nie tylko hipoteza continuum jest niezależna od zwykłej teorii mnogości. Również podobno aksjomat wyboru ma takie właściwości. Podobno dzięki niemu można udowodnić kilka twierdzeń, jednak nie wszyscy go uznają.