Blog zawieszony!

Na czas nieokreślony.

Problem milenijny rozwiązany przez Polaka? - ciąg dalszy; Życzenia świąteczne; Plany

I proszę, historia pisze się dalej. Pan Bartosz Żółtak wstawił taki oto przejmujący filmik, który teraz podbija wykopa. Prosi w nim o przekazywanie pieniędzy, które mają mu pomóc w ukończeniu badań. Pod wykopem toczy się interesująca dyskusja, czy pomóc, czy nie, a jak pokazuje ta strona, pan Bartosz zebrał już ponad dziesięć tysięcy złotych!

Nadal nie podejmę się oceny, czy projekt pana Bartosza ma szanse powodzenia, ale mimo wszystko trzymam kciuki. I cieszę się, że temat się przebił do szerszej publiczności (szkoda tylko, że nie za pośrednictwem mojego bloga). 

Tymczasem życzę Wam wszystkim Wesołych Świąt i Szczęśliwego Nowego Roku. 

Ostatni miesiąc był naprawdę udany dla tego bloga, za co wszystkim Wam dziękuje. Następne przemyślenia pojawią się raczej pomiędzy świętami, a sylwestrem. Planuję w następnej notce podsumować i uzupełnić temat "Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka", ponieważ wzbudza on wiele kontrowersji. 

Justin Bieber - Mistletoe

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część czwarta (ostatnia)

Podobno intuicjoniści nie uznają ogólnie dowodów niekonstruktywnych. Za wikipedią:

"Dowód niekonstruktywny – rodzaj dowodu matematycznego istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrycznych o pewnych własnościach), zwykle nie wprost, w którym wykazuje się, że nieprawdziwość tezy twierdzenia prowadziłaby do sprzeczności, z czego wyciąga się wniosek o jej spełnieniu (a więc istnieniu rozpatrywanego rodzaju obiektów) bez podania jakiegokolwiek sposobu ich konstruowania"

Na podanie konstruktywnego dowodu paradoksu omnipotencji wypadałoby chyba wskazać, jak Bóg ma zrobić ten kamień... no cóż. Nie podejmę się tego wyzwania.

Częsta odpowiedź na paradoks omnipotencji jest taka, że Bóg jest wszechmocny więc może "złamać" prawa logiki. No ale może On wcale ich nie musi łamać, tylko po prostu nasza logika jest niedoskonała, bo my jesteśmy niedoskonali, a wszelkie nasze próby zinterpretowania matmy, to tak naprawdę większe czy mniejsze przybliżenia, tak jak i w fizyce na przykład.

Póki nasza matematyka opiera się na pojęciach człowiekowi bliskich, nieścisłości praktycznie nie ma. Gdy jednak wchodzi w tak abstrakcyjne pojęcia jak liczby rzeczywiste, których zbiór jest mocy continuum, matematycy się gubią.

Zresztą nie tylko w matematyce mamy takie problemy. Ile razy brakuje nam słów, by opisać jakieś piękne zjawisko, czy choćby ładną dziewczynę? Nasz język jest po prostu zbyt płytki. Nasze myśli nie potrafią wyrazić tego, co widzimy, co czujemy. Posługując się słowami, przybliżamy nasz świat, a czym więcej o nim powiemy, tym mniej dokładnie go opiszemy.

Tak naprawdę i teraz i za kilkaset lat możemy być równie dalece od ideału jakim jest matma.

Słyszy się dużo o Twierdzeniu Gödla, ale myślę, że zwykły człowiek nie wie jak je interpretować. Czy chodzi o to, że nie da się stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej? Czy to może jest właśnie tak, bo nasza "logika" jest nieidealna? Bo chyba nie zabronimy Bogu stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej. 

Co możemy zrobić?

Może udałoby się udowodnić, że istnieje matematyka prawdziwa, logika, która wykracza poza nasze pojmowanie świata, rozstrzygająca wszystkie paradoksy, w której nie zachodziłoby twierdzenie Godla? Może udałoby się udowodnić, że hipoteza continuum jest prawdziwa lub fałszywa w tej logice? Może udałoby się chociaż zaksjomatyzować taką teorię? A może chociaż istnieje sposób, który pozwoli uniknąć dowodzenia sprzecznych twierdzeń i dzięki niemu można wykazać, że liczb pierwszych jest jednak zdecydowanie nieskończenie wiele i stworzyć metody pozwalające wyłapywać nieścisłości.

W artykule

 http://www.opoka.org.pl/biblioteka/F/FL/ograniczenia_godla.html

odnalazłem kilka interesujących stwierdzeń, które możliwe, że są odzwierciedleniem naszych postulatów (chciałbym, by ktoś ocenił, czy rzeczywiście tak jest):

"Nie jest oczywiste, że interesujące teorie muszą być formułowane w językach pierwszego rzędu. Nie ma powodu sądzić, że nie jest możliwe formułowanie ciekawych teorii w językach, do których twierdzenia Gödla nie mają bezpośredniego zastosowania."

"Barwise twierdzi wręcz, że w świetle osiągnięć matematyki i logiki, zwłaszcza tzw. "abstrakcyjnej teorii modeli" "nie ma powrotu do poglądu, że logika to logika pierwszego rzędu" ([Barwise 1985, 23])(18). Według Drake'a, matematyka to w gruncie rzeczy to samo, co logika drugiego rzędu, jednak, aby ją poznawać, badamy jej przybliżenia w teoriach pierwszego rzędu"

"O niemożliwości metafizyki: prawdą jest, że dla każdej teorii metafizycznej sformułowanej w rachunku predykatów pierwszego rzędu będą istniały zdania w języku tej teorii nierozstrzygalne w tej teorii. Czy jednak metafizyka musi być formułowana w takim właśnie języku?"

"Czy w ogóle możliwa jest inna matematyka (i przede wszystkim co to naprawdę znaczy) to odrębne zagadnienie."

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część trzecia

Matematyka to według niektórych sztuka wyciągania wniosków z przyjętych aksjomatów, pewników konstruowanych definicji. We współczesnej matematyce osiągnięciem jest udowodnienie jakiegoś twierdzenia.

Klasyczne aksjomaty teorii (wydaje mi się) są wynikiem jakby naszej intuicji, tak jak to, że istnieje coś takiego jak liczba naturalna 1, albo jest coś takiego jak zbiór.

Co jednak wspólnego z naszą intuicją ma hipoteza continuum, którą można chyba włączyć do danej teorii jako aksjomat? (Aksjomat wyboru może wydaje się trochę bardziej intuicyjny, ale nie będę go tu omawiał, bo może sam go do końca nie rozumiem).

Niektórzy może stwierdzą, że mimo wszystko czują intuicyjnie, że nie ma mocy pomiędzy alef zero, a continuum. No ale jak uzasadnią oni swoje przeczucie, gdy tak naprawdę człowiek nie ogarnia aż takich poziomów abstrakcji, co najwyżej posługuje się rozumowaniem "matematycznym" na przykład udowadniając, że continuum jest większe niż alef zero.

Drugie zdanie wypowiedziane przez mojego nauczyciela na logice brzmiało: Niektórzy matematycy nie akceptują dowodów nie wprost.

Wydawało mi się to trochę dziwne, teraz jednak chyba zaczynam rozumieć, dlaczego tak jest.

Już po naszej rozmowie, kilka dni temu przeczytałem, że matematycy nie uznający tych dowodów to intuicjoniści. Podobno próbowali oni uniknąć dowodzenia nie wprost i sformułować teorie w której dowodów nie wprost nie ma. Nie wiem na ile im się to udało. Wydaje mi się, że dowody nie wprost są najczęściej stosowane właśnie na tych wyższych poziomach abstrakcji, no ale nie wiem, czy sądzę dobrze.

Wróćmy do paradoksu omnipotencji i paradoksu kłamcy. Dowiedliśmy sprzeczności tych paradoksów dowodem nie wprost. Ciekawi mnie, czy resztę takich paradoksów (antynomii?) też dowodzi się nie wprost. No ale czy te dwa przypadki świadczą już o tym, że dowody nie wprost są złe?

W twierdzeniach, które nie zahaczają o tak abstrakcyjne rzeczy jak zbiory mocy continuum, wszystko wydaje się bardziej intuicyjne. Popatrzmy na dowód nie wprost twierdzenia o liczności liczb pierwszych (ten dowód już wkrótce no moim blogu). Otrzymujemy tu sprzeczność z wyjściem założenia, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Na tej podstawie wnioskujemy, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Co by było jednak, gdybyśmy wychodząc z założenia, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, również otrzymali sprzeczność? Pewnie tak nie jest, ale widzimy, że sprzeczności w mniej abstrakcyjnych twierdzeniach, niż hipoteza continuum zszokowałyby prawdopodobnie cały świat matematyki. No ale czy to, że hipoteza jest bardzo abstrakcyjna, może tłumaczyć zachodzenie sprzeczności (czy też niezależności)? Wydaje mi się, że abstrakcyjność danego pojęcia to tylko "ludzka", subiektywna opinia, a sama matma nie dzieli twierdzeń na mniej abstrakcyjne i bardziej. Wydaje mi się, że to, czy hipoteza continuum zachodzi, czy nie, jest tak samo konkretnym problem, jak to, czy liczb pierwszych jest skończenie wiele. 

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część druga

Czy Bóg może stworzyć kamień, którego nie może nigdy podnieść? To klasyczne pytanie nasuwa się, gdy mówimy o wszechmocnym Bogu.

Możemy zastosować metodę rozumowania nie wprost, która może nas doprowadzić do dowodu.

Spróbujmy najpierw udowodnić, że Bóg może stworzyć kamień.

Załóżmy nie wprost, że Bóg nie może stworzyć takiego kamienia. No ale Bóg jest wszechmocny, więc sprzeczność, a więc z zasad rozumowania nie wprost wynika, że Bóg jednak może stworzyć ten kamień.

Sprawdźmy jednak, że teza: Bóg nie może stworzyć kamienia, również zachodzi:

Załóżmy nie wprost, że Bóg może stworzyć taki kamień. No ale Bóg jest wszechmocny więc wtedy mógłby podnieść każdy kamień, co daje sprzeczność z założeniem, a więc Bóg nie może stworzyć takiego kamienia.

Inny, trochę może bardziej przyziemny przykład to tak zwany paradoks kłamcy.

Czy kłamca, który zawsze kłamię, mówi prawdę, gdy mówi, że kłamię?

Odpowiedź pierwsza: Tak, mówi prawdę.

Załóżmy nie wprost, że jednak kłamię. No ale to by oznaczało, że kłamie mówiąc o tym, że zawsze kłamie, więc mamy sprzeczność, bo w końcu mówi prawdę. Czyli kłamca mówi prawdę.

Odpowiedź druga: Nie, kłamie

Załóżmy nie wprost, że mówi prawdę. No ale on zawsze kłamie więc mamy sprzeczność. Czyli kłamca kłamie.

W obu przypadkach otrzymujemy dwie sprzeczne ze sobą tezy. Rodzi się pytanie: jak jest naprawdę?

Ale tak właściwie co te problemy mają wspólnego z matematyką?

Będąc na pierwszym roku matematyki mieliśmy przedmiot: "Wstęp do logiki i teorii mnogości". Dwa stwierdzenia moich nauczycieli tego przedmiotu szczególnie mnie zadziwiły:

Istnieje takie coś, jak hipoteza continuum. O co w niej chodzi?

Mamy liczby naturalne i liczby rzeczywiste. Jest pokazane, że liczb rzeczywistych jest "więcej" od liczb naturalnych. Mówimy, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc od liczb naturalnych. Moc zbioru liczb rzeczywistych to continuum, a moc zbioru liczb naturalnych to alef zero.

Rodzi się pytanie, czy istnieje moc pomiędzy alef zero, a continuum?

Jest to tak zwana hipoteza continuum. Na wykładzie dowiedzieliśmy się z tego co pamiętam, że nie da jej się udowodnić, ani jej zaprzeczyć (jest to podobno udowodnione). Poza tym hipoteza ta jest niezależna od klasycznej teorii mnogości (opierającej się na aksjomatach). Można ją uznać, albo nie. A jak jest naprawdę? Niektórzy może dojdą do wniosku, że to nie ma znaczenia. Może istnieje wiele teorii poprawnych? Ale nie tylko hipoteza continuum jest niezależna od zwykłej teorii mnogości. Również podobno aksjomat wyboru ma takie właściwości. Podobno dzięki niemu można udowodnić kilka twierdzeń, jednak nie wszyscy go uznają. 

Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część pierwsza

W tych przemyśleniach odwołam się do niektórych pojęć z matematyki, których nie wyjaśniłem w poprzednich notkach i przez to, przemyślenia mogą być niezrozumiałe. Wielu z pojęć, których będę używał w tej notce, ja sam do końca nie rozumiem. Mam nadzieję na dialog, który pozwoli mi może bardziej usystematyzować swoją wiedzę.

Niedawno zainspirowani świetną książką Jiddu Krishnamurtiego - "Wolność od znanego", przeprowadziliśmy z kolegą ciekawą rozmowę.

Przed dyskusją mieliśmy całkowite odmienne podejście do matematyki.

Ja znam już niektóre sposoby dowodzenia twierdzeń, poznałem kilka dowodów, ciekawią mnie biografię matematyków, (ich) sposoby dochodzenia do wielkich odkryć. W przyszłości chciałbym zostać na uczelni, prowadzić pracę naukową w zakresie matematyki. Na dodatek mam dosyć mało praktyczne podejście do życia. Bardziej od zastosowań matematyki interesuje mnie sama matematyka.

Kolega zaś ma całkowite odmienne podejście do nauki. W skrócie: Nie ufa matematyce.

Po rozmowie wydaje się, że nasze poglądy w miarę się do siebie zbliżyły (co, jak mi się wydaję, jest rzadkością w dyskusjach).

Na początku dodam, że kolega, z którym przeprowadzałem dyskusje nie interesuje się za bardzo matematyką. Jest to według mnie warte uwagi ze względu na fakt, że jego teoria nie została zainspirowana poglądami filozofów na filozofię matematyki. Postaram się wskazać rzeczy, które ja wiedziałem o filozofii matematyki przed rozmową.

Od dyskusji minęło już kilka dni, przez ten czas szukałem artykułów, które pozwoliłyby bardziej usystematyzować swój pogląd. Myślę, że w miarę mi się to udało, dlatego też wreszcie chce o tym wszystkim napisać na moim blogu.

Przejdźmy do rzeczy.

Jakie wnioski otrzymaliśmy w wyniku dyskusji?

Człowiek tak naprawdę nie ma dostępu bezpośredniego do idealnego świata matematyki. Nie umie sobie wyobrazić nieskończoności, czy choćby idealnego trójkąta. Człowiek nie zawsze myśli logicznie. Czy zatem jest w stanie dobrze poznać twierdzenia matematyki?

Uwaga!

Dziś na moim blogu dodane zostało dużo komentarzy (nie wiem dlaczego akurat dziś, no ale bardzo się z tego cieszę :)). Niestety nie wiedzieć czemu, bez mojej wiedzy potraktowano niektóre komentarze jako spam. Na szczęście nie skasowały się, więc mogłem je przywrócić na bloga.

Mam nadzieję, że posądzajacy mnie o kasowanie komentarzy wrócą i dowiedzą się o tym (i będą czytać dalej bloga). 

Za wszystkie komentarze bardzo dziękuję.