Lampa Thomsona - część pierwsza

W 1954 roku James F. Thomson sformułował paradoks, czy jak to nazwać, zwany Lampą Thompsona. 

Przeprowadźmy następujące doświadczenie myślowe:

Weźmy lampę i zaprogramujmy ją tak, by po jakimś czasie sama się wyłączała/włączała.

W naszym przypadku weźmy sobie taką tabelkę. 

Time	On/Off
0.000	On
1.000	Off
1.500	On
1.750	Off
1.875	On
...	...
2.000	?

 (tabelka zaczerpnięta z wikipedii).

Na początku niech lampa będzie włączona. Po minucie lampę wyłączamy. Po kolejnej pół minucie lampę włączamy i tak dalej. Czynności te kończymy w drugiej minucie. Gdy lampa jest włączona, zostawiamy włączoną, gdy wyłączona, zostawiamy wyłączoną.

I tu pojawia się problem.

Czy lampa zostanie w drugiej minucie włączona czy wyłączona?

(#) Wróćmy do notki: 

http://blog-o-matematyce.blogspot.com/2014/06/1-12-13-14-czesc-pierwsza.html

Widzimy tutaj wzór na szereg geometryczny:

 

Suma tego szeregu po dodaniu elementu dla n=0 wynosi 2. 

W omawianym w tej notce problemie mamy do czynienia właśnie z tym szeregiem. Kolejne n-te sumy początkowe takiego wyrazu geometrycznego to właśnie 

1

1,5

1,75 i tak dalej.

Teoretycznie nim lampa osiągnie drugą minutę, zostanie wykonana nieskończona ilość operacji (co wynika z (#)). No ale jaka operacja zostanie wykonana ostatnia?

Archiwum: 21.12.2012 - Dlaczego 3^0=1

Kiedyś zastanawiałem się, dlaczego dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej równa się jeden, a nie na przykład 0. Ostatnio zauważyłem jednak pewną rzecz, która może nie tłumaczy bezpośrednio, laczego tak jest, ale jest to wg mnie ciekawa prawidłowość.

Weźmy na przykład liczbę 3, tak jak w tytule.

Wiemy,  że pierwiastek z 3 (drugiego stopnia), to inaczej 3^(1/2). Pierwiastek z 3 trzeciego stopnia, to 3^1/3 itd.

Zobaczmy jak wyglądają niektóre pierwiastki dla liczby 3.

3^(1/2) = 1,73

3^(1/4 )= 1,23

3^(1/8 )= 1,15

3^(1/16) = 1,07 itd.

To samo dzieje się z innymi liczbami. Czym większa liczba w mianowniku potęgi, tym bardziej wartość działania zbliża się do jedynki. Tak samo jest z liczbą mniejszą od jedynki, na przykład 0,001.

0,001^(1/2)=0,03

0,001^(1/10)=0,5

0,001^(1/100)=0,93

Oczywiście = oznacza tutaj „w przybliżeniu”.

A teraz to, co zauważyłem.

Liczba w mianowniku potęgi dąży do nieskończoności, podczas gdy wartość dąży do jedynki. Jak napisaliśmy wcześniej, 1/nieskończoność = 0, tak więc 3^0, lub inaczej 3^(1/nieskończoność) = 1.

Problemy milenijne

Jak już kiedyś pisałem: "Matematyka kryje wiele tajemnic". Są jednak zadania, których rozwiązanie może przysporzyć matematykowi wiele sławy i pieniędzy. 

W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya (za wikipedią: amerykańska organizacja pozarządowa o charakterze non-profit, utworzona w 1998 r. przez parę milionerów z Bostonu) ogłosił listę siedmiu nierozwiązanych problemów (są to tak zwane "Problemy milenijne"). Za rozwiązanie każdego z nich wyznaczył nagrodę miliona dolarów.

Już same nazwy i opisy tych zagadnień sprawiają wiele problemów a co dopiero ich rozwiązanie. Mam nadzieję, że z biegiem czasu poznam lepiej te pojęcia i będę mógł napisać na blogu o co mniej więcej w nich chodzi. 

Do tej pory tylko jeden z "problemów milenijnych" udało się rozwiązać. Uczynił to w 2003 roku rosyjski matematyk Grigorij Perelman (warto dodać, że odmówił przyjęcia nagrody) przedstawiając swój dowód Hipotezy Poincarego (teraz już Twierdzenia) w internecie.  

Przez pewien czas wydawało się, że drugi problem milenijny może zostać rozwiązany. Niestety "dowód" Równań Naviera-Stokesa przedstawiony przez Mukhtarbaia Otelbayeva okazał się nieprawdziwy.

O prestiżu problemów milenijnych świadczy choćby fakt, że  Magazyn Science przyznał ostatecznemu rozstrzygnięciu hipotezy Poincarego miano "naukowego wydarzenia roku 2006".

Więcej o problemach milenijnych innym razem. 

Alexander Grothendieck

12 listopada na forum matematyka.pl napisałem taki oto tekst o pewnym człowieku: 


"Alexander Grothendieck (ur. 28 marca 1928 w Berlinie) – jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku. Początkowo zajmował się teorią przestrzeni Banacha oraz przestrzeniami liniowo-topologicznymi i ich iloczynami tensorowymi. Twórca nowoczesnych podstaw geometrii algebraicznej. W czasie wojny ukrywał się w Le Chambon-sur-Lignon. Laureat Medalu Fieldsa w 1966 roku. 
Tyle tylko o tym matematyku pisze nasza wikipedia. 
Alexander Grothendieck przewinął się kilka razy przez to forum, ale nie ma osobnego tematu, a według mnie zasługuje na to.
Kiedyś myślałem, że Grigorij Perelman jest ewenementem. Matematyk o wielkich możliwościach, który może pracować w największych uczelniach świata i zarabiać miliony, postanawia odizolować się od ludzi nie wyjaśniając za bardzo swojego postępowania. Okazuje się jednak, że rosyjskiemu geniuszowi szlak przetarł inny geniusz - Alexander Grothendieck, który od początku lat dziewięćdziesiątych żyje w pustelni w Pirenejach. Jego zachowanie dużo tłumaczy bardzo ciekawy i inspirujący artykuł (polecam gorąco)
http://www.zb.eco.pl/publication/wielcy ... eck-p450l1 . 
Po takim naświetleniu portretu Grothendiecka można doszukać się logiki w jego postępowaniu. Pozostaje mieć nadzieję, że Grigorij Perelman i Alexander Grothendieck nie powiedzieli jeszcze ostatniego słowa i świat więcej się dowie o ich historii (w przypadku Perelmana może to być łatwiejsze, w końcu nie ma jeszcze pięćdziesiątki, a w ostatnich miesiącach pojawiły się artykuły sugerujące, że wychodzi z ukrycia). "


Dziś dowiedziałem się, że jest on nieaktualny. Niestety Grothendieck zmarł przedwczoraj (trzynastego listopada).
Więcej o wielkich matematykach (w tym o Grothendiecku i Perelmanie) już wkrótce.