Podobno intuicjoniści nie
uznają ogólnie dowodów niekonstruktywnych. Za wikipedią:
"Dowód
niekonstruktywny – rodzaj dowodu matematycznego
istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrycznych o pewnych
własnościach), zwykle nie wprost, w którym wykazuje się, że nieprawdziwość tezy
twierdzenia prowadziłaby do sprzeczności, z czego wyciąga się wniosek o jej
spełnieniu (a więc istnieniu rozpatrywanego rodzaju obiektów) bez podania
jakiegokolwiek sposobu ich konstruowania"
Na podanie konstruktywnego
dowodu paradoksu omnipotencji wypadałoby chyba wskazać, jak Bóg ma zrobić ten
kamień... no cóż. Nie podejmę się tego wyzwania.
Częsta odpowiedź na paradoks
omnipotencji jest taka, że Bóg jest wszechmocny więc może "złamać"
prawa logiki. No ale może On wcale ich nie musi łamać, tylko po prostu nasza
logika jest niedoskonała, bo my jesteśmy niedoskonali, a wszelkie nasze próby
zinterpretowania matmy, to tak naprawdę większe czy mniejsze przybliżenia, tak
jak i w fizyce na przykład.
Póki nasza matematyka opiera się na pojęciach
człowiekowi bliskich, nieścisłości praktycznie nie ma. Gdy jednak wchodzi w tak
abstrakcyjne pojęcia jak liczby rzeczywiste, których zbiór jest mocy
continuum, matematycy się gubią.
Zresztą nie tylko w matematyce mamy takie problemy. Ile
razy brakuje nam słów, by opisać jakieś piękne zjawisko, czy choćby ładną
dziewczynę? Nasz język jest po prostu zbyt płytki. Nasze myśli nie potrafią
wyrazić tego, co widzimy, co czujemy. Posługując się słowami, przybliżamy nasz
świat, a czym więcej o nim powiemy, tym mniej dokładnie go opiszemy.
Tak naprawdę i teraz i za
kilkaset lat możemy być równie dalece od ideału jakim jest matma.
Słyszy się dużo o
Twierdzeniu Gödla, ale myślę, że zwykły człowiek nie wie jak je interpretować.
Czy chodzi o to, że nie da się stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej? Czy
to może jest właśnie tak, bo nasza "logika" jest nieidealna? Bo chyba
nie zabronimy Bogu stworzyć niesprzecznej teorii matematycznej.
Co
możemy zrobić?
Może
udałoby się udowodnić, że istnieje matematyka prawdziwa, logika, która wykracza
poza nasze pojmowanie świata, rozstrzygająca wszystkie paradoksy, w której nie
zachodziłoby twierdzenie Godla? Może udałoby się udowodnić, że hipoteza
continuum jest prawdziwa lub fałszywa w tej logice? Może udałoby się chociaż
zaksjomatyzować taką teorię? A może chociaż istnieje sposób, który pozwoli
uniknąć dowodzenia sprzecznych twierdzeń i dzięki niemu można wykazać, że liczb
pierwszych jest jednak zdecydowanie nieskończenie wiele i stworzyć metody
pozwalające wyłapywać nieścisłości.
W artykule
http://www.opoka.org.pl/biblioteka/F/FL/ograniczenia_godla.html
odnalazłem kilka
interesujących stwierdzeń, które możliwe, że są odzwierciedleniem naszych
postulatów (chciałbym, by ktoś ocenił, czy rzeczywiście tak jest):
"Nie jest oczywiste, że
interesujące teorie muszą być formułowane w językach pierwszego rzędu. Nie ma
powodu sądzić, że nie jest możliwe formułowanie ciekawych teorii w językach, do
których twierdzenia Gödla nie mają bezpośredniego zastosowania."
"Barwise twierdzi wręcz, że w świetle
osiągnięć matematyki i logiki, zwłaszcza tzw. "abstrakcyjnej teorii
modeli" "nie ma powrotu do poglądu, że logika to logika pierwszego
rzędu" ([Barwise 1985, 23])(18). Według Drake'a, matematyka to w gruncie
rzeczy to samo, co logika drugiego rzędu, jednak, aby ją poznawać, badamy jej
przybliżenia w teoriach pierwszego rzędu"
"O niemożliwości metafizyki: prawdą jest,
że dla każdej teorii metafizycznej sformułowanej w rachunku predykatów
pierwszego rzędu będą istniały zdania w języku tej teorii nierozstrzygalne w
tej teorii. Czy jednak metafizyka musi być formułowana w takim właśnie
języku?"
"Czy w ogóle możliwa jest inna matematyka (i
przede wszystkim co to naprawdę znaczy) to odrębne zagadnienie."
Trafiłem tu przypadkiem z wykopu (nie mam konta), przemogłem się i przeczytałem, choć było to trudne. Mieszasz rzeczy, których nie powinno się mieszać: matematyczny formalizm z "filozoficznymi" rozważaniami dla licealistów. Poczytaj o filozofii matematyki, poświęć trochę czasu na zrozumienie teorii mnogości, którą miałeś wyłożoną, bo nie zrozumiałeś tyle, ile mógłbyś, naucz się oddzielać matematykę od tego, co nie jest matematyką i nie mieszaj tych dwóch dziedzin. Pozdr.
OdpowiedzUsuń