Czy Bóg może stworzyć
kamień, którego nie może nigdy podnieść? To klasyczne pytanie nasuwa się, gdy
mówimy o wszechmocnym Bogu.
Możemy zastosować metodę
rozumowania nie wprost, która może nas doprowadzić do dowodu.
Spróbujmy najpierw
udowodnić, że Bóg może stworzyć kamień.
Załóżmy nie wprost, że Bóg
nie może stworzyć takiego kamienia. No ale Bóg jest wszechmocny, więc
sprzeczność, a więc z zasad rozumowania nie wprost wynika, że Bóg jednak może
stworzyć ten kamień.
Sprawdźmy jednak, że teza: Bóg nie może stworzyć kamienia, również
zachodzi:
Załóżmy nie wprost, że Bóg
może stworzyć taki kamień. No ale Bóg jest wszechmocny więc wtedy mógłby
podnieść każdy kamień, co daje sprzeczność z założeniem, a więc Bóg nie może
stworzyć takiego kamienia.
Inny, trochę może bardziej
przyziemny przykład to tak zwany paradoks kłamcy.
Czy kłamca, który zawsze
kłamię, mówi prawdę, gdy mówi, że kłamię?
Odpowiedź pierwsza: Tak,
mówi prawdę.
Załóżmy nie wprost, że
jednak kłamię. No ale to by oznaczało, że kłamie mówiąc o tym, że zawsze
kłamie, więc mamy sprzeczność, bo w końcu mówi prawdę. Czyli kłamca mówi prawdę.
Odpowiedź druga: Nie, kłamie
Załóżmy nie wprost, że mówi
prawdę. No ale on zawsze kłamie więc mamy sprzeczność. Czyli kłamca kłamie.
W obu przypadkach
otrzymujemy dwie sprzeczne ze sobą tezy. Rodzi się pytanie: jak jest naprawdę?
Ale tak właściwie co te
problemy mają wspólnego z matematyką?
Będąc na pierwszym roku
matematyki mieliśmy przedmiot: "Wstęp do logiki i teorii mnogości".
Dwa stwierdzenia moich nauczycieli tego przedmiotu szczególnie mnie zadziwiły:
Istnieje takie coś, jak
hipoteza continuum. O co w niej chodzi?
Mamy liczby naturalne i
liczby rzeczywiste. Jest pokazane, że liczb rzeczywistych jest
"więcej" od liczb naturalnych. Mówimy, że zbiór liczb rzeczywistych
ma większą moc od liczb naturalnych. Moc zbioru liczb rzeczywistych to
continuum, a moc zbioru liczb naturalnych to alef zero.
Rodzi się pytanie, czy
istnieje moc pomiędzy alef zero, a continuum?
Jest to tak zwana hipoteza
continuum. Na wykładzie dowiedzieliśmy się z tego co pamiętam, że nie da jej
się udowodnić, ani jej zaprzeczyć (jest to podobno udowodnione). Poza tym
hipoteza ta jest niezależna od klasycznej teorii mnogości (opierającej się na
aksjomatach). Można ją uznać, albo nie. A jak
jest naprawdę? Niektórzy może dojdą do wniosku, że to nie ma znaczenia.
Może istnieje wiele teorii poprawnych? Ale nie tylko hipoteza continuum jest
niezależna od zwykłej teorii mnogości. Również podobno aksjomat wyboru ma takie
właściwości. Podobno dzięki niemu można udowodnić kilka twierdzeń, jednak nie
wszyscy go uznają.