Czy nasza matematyka, to prawdziwa matematyka? - część trzecia

Matematyka to według niektórych sztuka wyciągania wniosków z przyjętych aksjomatów, pewników konstruowanych definicji. We współczesnej matematyce osiągnięciem jest udowodnienie jakiegoś twierdzenia.

Klasyczne aksjomaty teorii (wydaje mi się) są wynikiem jakby naszej intuicji, tak jak to, że istnieje coś takiego jak liczba naturalna 1, albo jest coś takiego jak zbiór.

Co jednak wspólnego z naszą intuicją ma hipoteza continuum, którą można chyba włączyć do danej teorii jako aksjomat? (Aksjomat wyboru może wydaje się trochę bardziej intuicyjny, ale nie będę go tu omawiał, bo może sam go do końca nie rozumiem).

Niektórzy może stwierdzą, że mimo wszystko czują intuicyjnie, że nie ma mocy pomiędzy alef zero, a continuum. No ale jak uzasadnią oni swoje przeczucie, gdy tak naprawdę człowiek nie ogarnia aż takich poziomów abstrakcji, co najwyżej posługuje się rozumowaniem "matematycznym" na przykład udowadniając, że continuum jest większe niż alef zero.

Drugie zdanie wypowiedziane przez mojego nauczyciela na logice brzmiało: Niektórzy matematycy nie akceptują dowodów nie wprost.

Wydawało mi się to trochę dziwne, teraz jednak chyba zaczynam rozumieć, dlaczego tak jest.

Już po naszej rozmowie, kilka dni temu przeczytałem, że matematycy nie uznający tych dowodów to intuicjoniści. Podobno próbowali oni uniknąć dowodzenia nie wprost i sformułować teorie w której dowodów nie wprost nie ma. Nie wiem na ile im się to udało. Wydaje mi się, że dowody nie wprost są najczęściej stosowane właśnie na tych wyższych poziomach abstrakcji, no ale nie wiem, czy sądzę dobrze.

Wróćmy do paradoksu omnipotencji i paradoksu kłamcy. Dowiedliśmy sprzeczności tych paradoksów dowodem nie wprost. Ciekawi mnie, czy resztę takich paradoksów (antynomii?) też dowodzi się nie wprost. No ale czy te dwa przypadki świadczą już o tym, że dowody nie wprost są złe?

W twierdzeniach, które nie zahaczają o tak abstrakcyjne rzeczy jak zbiory mocy continuum, wszystko wydaje się bardziej intuicyjne. Popatrzmy na dowód nie wprost twierdzenia o liczności liczb pierwszych (ten dowód już wkrótce no moim blogu). Otrzymujemy tu sprzeczność z wyjściem założenia, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Na tej podstawie wnioskujemy, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Co by było jednak, gdybyśmy wychodząc z założenia, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, również otrzymali sprzeczność? Pewnie tak nie jest, ale widzimy, że sprzeczności w mniej abstrakcyjnych twierdzeniach, niż hipoteza continuum zszokowałyby prawdopodobnie cały świat matematyki. No ale czy to, że hipoteza jest bardzo abstrakcyjna, może tłumaczyć zachodzenie sprzeczności (czy też niezależności)? Wydaje mi się, że abstrakcyjność danego pojęcia to tylko "ludzka", subiektywna opinia, a sama matma nie dzieli twierdzeń na mniej abstrakcyjne i bardziej. Wydaje mi się, że to, czy hipoteza continuum zachodzi, czy nie, jest tak samo konkretnym problem, jak to, czy liczb pierwszych jest skończenie wiele.