Archiwum: 2012.05.30 - Dzielenie przez zero (cz.4)

W szkole często jest nudno i tak też było tego dnia. Siedzieliśmy na religiach nic nie robiąc, później był polski. Jakoś w rozmowie między tymi przedmiotami przypomnieliśmy sobie wykład profesora, który wręczał nam rok temu nagrody i próbowaliśmy bardziej zrozumieć paradoks Hilberta. Zadaliśmy sobie pytanie czy w takim razie zbiór liczb naturalnych jest równy zbiorowi liczb parzystych? Wyszło na to że tak. Po jakieś godzinie doszliśmy do jeszcze bardziej dziwnego wniosku. Rozważyliśmy zbiór liczb rzeczywistych (0,1) i porównaliśmy go do zbioru liczb naturalnych. Wyszło nam, że są równoliczne, a może nawet zbiór (0,1) jest większy. Spisaliśmy na kartce nasze przemyślenia i jeszcze trochę podyskutowaliśmy.

Po religii i polskim mamy matematykę i to okazało się dla bardzo korzystne. Nasze rozmyślania na przerwie usłyszała nauczycielka i się nimi zainteresowała. Byliśmy troszkę zdziwieni, ale od razu powiedzieliśmy do jakich wniosków doszliśmy. Lekki strach mieliśmy, bo chyba nikt z nas nie lubi, gdy okazuje się, że wszystko pokręciliśmy i gadamy głupoty. Okazało się, że matematyka wcale nie jest inna niż myślimy.  Nauczycielka powiedziała nam, że istnieje taki dział, który zajmuje się tego typu zadaniami, określa tak zwaną moc zbiorów. Można podobno dowodzić nie wprost metodą przekątniową (której nie mogłem zrozumieć chyba z tydzień. Czasami na wikipedii piszą takim językiem, że niby się wszystko rozumie, a tak naprawdę nie wiadomo o co chodzi), że zbiór liczb rzeczywistych jest większy (ma większą moc) od zbioru liczb naturalnych i każdy podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, (na przykład (0,1)) jest większy od zbioru liczb naturalnych. Nie jestem pewien, czy każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych wszystkich, ale chyba tak. Dodatkowo zgodnie z tym co mówił profesor i z tym do czego my sami doszliśmy – zbiór liczb naturalnych jest równy zbiorowi liczb całkowitych, czy parzystych.

Pani profesor (nie wiem dlaczego tak się nazywa nauczycieli w liceum. Praktycznie wszyscy z nich są tylko magistrami, a co tu mówić o profesorze, no ale akurat jakoś bardzo mi to nie przeszkadza), potwierdziła również nasz dowód na to, że 1/0=∞. Zapytaliśmy więc, czy można wykonywać na takich liczbach normalne działania – obustronnie mnożyć i dzielić. Otrzymaliśmy twierdzącą odpowiedź i od razu uśmiechając się pod nosem przystąpiliśmy do naszej analizy, której dokonaliśmy wcześniej i o której wspominałem:

1/0=∞ i 100/0=∞ w takim razie ∞*0=1 i ∞*0=100

z której wynikało, że 1=100 „pod wpływem”, czy „w obliczu” nieskończoności. Nauczycielka stwierdziła, że tu akurat się mylimy. Wyrażenie nieskończoność razy zero, czy nieskończoność podzielić przez nieskończoność, albo nieskończoność minus nieskończoność nazywamy symbolem nieoznaczonym i można powiedzieć, że przyjmuje ono różną wartość w zależności od tego czym było wcześniej. 

Podziękowaliśmy bardzo za wytłumaczenie i byliśmy z siebie dumni. Okazało się, że chociaż wydawałoby się, że wszystko jest przeciwko nam (szkolne wierszyki, wikipedia, fora internetowe), to jednak dzięki logicznemu myśleniu wysnuliśmy prawidłowe wnioski.